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Séminaires A3 2019-2020

by Laurent Renault - published on

Lundi 6 avril 2020 à 10h30 - ANNULÉ
Claire Chainais-Hillairet (Lille)
Schémas linéaires/non-linéaires pour une équation de convection-diffusion : étude du comportement en temps long

Résumé

Dans cet exposé, je m’intéresserai au comportement en temps long de schémas numériques pour des équations de convection-diffusion. Il s’agira de schémas linéaires et non linéaires de type volumes finis à 2 points puis de schémas non linéaires DDFV (volumes finis en dualité discrète). Les résultats obtenus s’appuient sur des estimations d’entropie et des inégalités fonctionnelles discrètes.

 

Lundi 30 mars 2020 à 10h30 - ANNULÉ
Louis Dupaigne (ICJ, Lyon 1)
Titre à venir

 

Lundi 23 mars 2020 à 10h30 - ANNULÉ
Anaïs Crestetto (Nantes)
Schémas micro-macro pour les équations cinétiques de type Boltzmann-BGK en régime diffusif

Résumé

Je présenterai dans cet exposé des schémas préservant l’asymptotique (AP), basés sur une décomposition micro-macro et des méthodes particulaires, pour les équations cinétiques de type Boltzmann-BGK en régime diffusif.
L’objectif est d’obtenir une méthode numérique performante qui (i) préserve la limite de diffusion, (ii) a un coût de calcul comparable à une méthode fluide lorsque l’on s’approche de l’équilibre, (iii) ne souffre pas de condition de stabilité trop contraignante, (iv) peut s’étendre à des problèmes en 3 dimensions en espace et en vitesse (3Dx-3Dv).
Tout d’abord, nous présenterons un schéma d’ordre 1 en temps pour l’équation de transport radiatif en 1Dx-1Dv. Celui-ci est basé sur une reformulation du modèle micro-macro et l’utilisation d’une méthode de particules à poids pour la partie microscopique (ou cinétique). Ensuite, nous présenterons quelques extensions : un schéma d’ordre 2 en temps, son application à l’équation de Vlasov-BGK en 1Dx-1Dv, puis l’utilisation d’une méthode Monte Carlo (au lieu des particules à poids) pour l’équation de transport radiatif et son application à des cas 2Dx-2Dv et 3Dx-3Dv.
Ce travail a été effectué en collaboration avec Nicolas Crouseilles (Université de Rennes et Inria Rennes - Bretagne Atlantique), Giacomo Dimarco (Université de Ferrara) et Mohammed Lemou (Université de Rennes et CNRS).

 

Lundi 9 mars 2020 à 10h45
Bérangère Delourme (Paris 13)
Modes guidés dans des structures fines hexagonales.

Résumé

Les cristaux photoniques sont des matériaux ayant une structure périodique qui leur permet de contrôler la propagation de la lumière. Du fait de la complexité de la structure (reflexions multiples dues à la périodicité du matériaux), des phénomènes d’interférences destructives peuvent apparaitre à certaines fréquences. Plus précisément, il existe des intervalles de fréquences où des rayons lumineux monochromatiques ne peuvent pas se propager. Par ailleurs, l’introduction de perturbations (linéiques) dans ces milieux peut générer des modes guidés se propageant le long des perturbations.

Dans cet exposé, nous étudions des matériaux périodiques particuliers constitués d’un maillage de tubes minces. Nous considérons d’abord le cas de tubes disposés périodiquement dans deux directions orthogonales. A l’aide d’une analyse asymptotique, nous montrons alors que l’introduction d’un défaut linéique dans la structure permet de créer des modes guidés. Nous nous intéressons ensuite au cas d’une structure présentant une symétrie hexagonale (matériaux en nid d’abeille) et nous montrons quelques propriétés remarquables de ce milieu.

Le travail présenté est issue d’une collaboration avec Sonia Fliss.

 

Lundi 9 mars 2020 à 9h30
Belhassen Dehman (Tunis)
Contrôlabilité de l’équation des ondes avec des métriques peu régulières

Résumé

The property of controllability for the wave equation has been intensively studied, mainly in a smooth framework ( smooth metric and smooth domain ). In this lecture, I will present some results on observability/control for the wave equation with rough coefficients.
More precisely, we prove that the property of exact internal or boundary controllability for a wave equation with smooth coefficients is stable with respect to Lipschitz perturbations of the metric.
We also consider the case of a C^1 metric ( the hamiltonian field is only continuous ) and we prove the propagation up to the boundary, of semi-classical measures support. The generalized Geometric Control Condition is then sufficient for exact control.

This talk comes from joint works with J. Le Rousseau ( Univ. Paris 13 ) and N. Burq ( Univ. Paris Sud ).

 

Lundi 2 mars 2020 à 10h30
Jiao He (Evry)
Évanescence d’un petit solide dans un fluide visqueux incompressible

Résumé

Dans cet exposé, je présenterai un problème qui modélise le mouvement d’un solide dans un fluide visqueux incompressible.
On s’intéresse ici à l’évolution d’un seul obstacle qui se rétrécit en une particule ponctuelle dans un fluide de R^2 ou R^3. On montrera la convergence des solutions du système fluide-solide vers une solution des équations de Navier-Stokes sans obstacle grâce aux estimations d’énergie.

 

Lundi 24 février 2020 à 10h30
Matthieu Brachet (INRIA Grenoble)
Intégrateurs Exponentiels pour les équations de Saint-Venant

Résumé

Les équations de Saint-Venant modélisent les mouvements d’un fluide de faible épaisseur. Les applications sont nombreuses : model océanique, atmosphérique, sédimentation, ... Elles sont généralement résolues en utilisant un schéma en temps explicite (ex : méthode de Runge-Kutta ou Forward-Backward). Le coût en calcul par itération est faible mais le pas de temps est contraint par une condition CFL et un grand nombre de pas de temps doit être effectué. Au contraire, les schémas implicites (ex: θ-schéma) permettent d’utiliser de grands pas de temps cependant un système doit être résolu à chaque itération et ces schémas produisent de la dissipation et de la dispersion numérique.
Dans cet exposé, je considérerai les Intégrateurs Exponentiels comme alternative.
Ces schémas seront analysés sur l’équations de Saint-Venant linéarisée autour d’un état d’équilibre. Nous étudions en particulier les propriétés de précision et de stabilité de ces méthodes. Les résultats sont comparés à ceux obtenus, dans un cadre semblable, avec un schéma explicite ou implicite. Le coût en calcul est mesuré ainsi que l’influence du pas de temps.
Récemment, les intégrateurs exponentiels ont été implémentés sur les équations de Saint-Venant sur une sphère en rotation. De récents cas tests permettent d’analyser les propriétés du schémas pour la propagation d’ondes sphériques.

 

Lundi 10 février 2020 à 10h30
Christophe Berthon (Nantes)
Artificial viscosity to get discrete entropy inequalities. Application to the shallow-water model

Résumé

The objective here is a derivation of fully discrete entropy inequalities, which can serve as energy estimates. To address such an issue, we first propose a technique of artificial viscosity to make entropy preserving any first-order finite volume scheme. The required entropy inequality then comes from a suitable control a the artificial viscosity, which control the smoothness of the approximated solutions. This first results are remarkable and they furnish a required estimation to study for the entropy stability of the well-known hydrostatic reconstruction type methods to approximate the weak solutions of the shallow water model.

 

Lundi 3 février 2020 à 10h30
Benjamin Graille (Orsay)
Des schémas de Boltzmann sur réseau pour simuler le système d’Euler complet

Résumé

La méthode de Boltzmann sur réseau est très largement utilisée pour simuler les équations de la mécanique des fluides comme Navier-Stokes incompressible. Jusqu’à présent la prise en compte de l’équation de conservation de l’énergie était difficile et se limitait à une approximation de type Boussinesq. De nouvelles idées ont permis la construction de schémas capables de simuler des systèmes hyperboliques plus généraux et en particulier Euler complet. Dans cet exposé, nous décrirons quelqu’uns de ces nouveaux schémas en nous intéressant particulièrement à la montée en nombre de Mach (problème très sensible des schémas de Boltzmann sur réseau).

 

Lundi 27 janvier 2020 à 10h30
Jacek Jendrej (Paris 13)
Paires kink-anti kink pour l’équation de champs scalaires en dimension 1+1

Résumé

Considérons une équation des ondes avec un double puits de potentiel, en dimension 1+1. On appelle les deux minima du potentiel les “vides”. On appelle “kinks” et “anti kinks” les minimiseurs de l’énergie potentielle parmi tous les états reliant les deux vides. Ce sont des états stationnaires du système. On appelle une "paire kink-anti kink" une solution de l’équation des ondes qui converge en temps grand vers une superposition d’un kink et d’un anti kink, séparé par une distance qui tend vers l’infini. On montre que, aux translations dans l’espace-temps près, il existe l’unique paire kink-anti kink. Je vais formuler rigoureusement ce résultat, donner une interprétation variationnelle des paires kink-anti kink, et présenter le schéma de la preuve.
Travail en collaboration avec Michal Kowalczyk et Andrew Lawrie.

 

Lundi 20 janvier 2020 à 10h30
Julien Brasseur (EHESS, CAMS)
Liouville type results for a nonlocal obstacle problem

Résumé

My talk will be devoted to the qualitative properties of some nonlocal reaction-diffusion equations set on “perforated" open sets. One of the cornerstones in the study of this type of problem lies in suitable rigidity results of Liouville-type, which allow the classification of stationary solutions. I will give some results in this direction, under some geometric assumptions on the domain. This talk is based on some works with J. Coville, F. Hamel and E. Valdinoci.

 

Lundi 13 janvier 2020 à 10h30
Nina Aguillon (UPMC)
Optimisation de culture de microalgues

Résumé

Il a été démontré en laboratoire que certaines espèces de microalgues ont des propriétés intéressantes pour, par exemple, l’épuration de l’eau et la transformation en biofuel. Il est possible de cultiver ces microalgues soit sur des films minces en tapis roulant, soit en bassin ouvert. Avec P.-O. Lamare, J. Sainte-Marie, J. Grenier, H. Bonnefond et Olivier Bernard (équipes inria ANGE et BIOCORE), nous avons proposé des modèles d’EDP couplant la dynamique biologique et hydrodynamique, en vue de l’optimisation du processus de production.

 

Lundi 6 janvier 2020 à 10h30
Thomas Padioleau (Maison de la Simulation, CEA)
Compressible two-phase flow simulations of liquid droplet impacts

Résumé

To increase the power of a nuclear reactor, steam water quality can be reduced down to 97%. Therefore droplets of liquid form at more than 40 m/s. When pipes are changing direction, those liquid droplets can impact the interior. The high pressure induced by the impact can lead to erosion and damage the pipes. Thus we are interested in estimating the impact pressure by simulating the impact of liquid droplets onto a perfect wall.

We use a compressible homogeneous equilibrium model discretized in three steps. To avoid the diffusion of the interface between the two fluids we use a conservative splitting operator approach. It consists in splitting acoustic and transport waves. This allows us to treat separately the two sub-systems. First acoustic system is solved using a Suliciu-like pressure relaxation. Transport system is solved using an anti-diffusive solver, to accurately capture the interface. Finally thermodynamic variables are projected onto thermodynamic equilibrium. We will present numerical results and parallelization strategy using Kokkos library to achieve high performance.

 

Lundi 16 décembre 2019 à 10h30
Alexandre Boritchev (Institut Camille Jordan)
Ajouter la viscosité aux lois de conservation hyperboliques (stochastiques)

Résumé

L’apparition d’une singularité (blow-up ou discontinuité) est bien comprise pour beaucoup de lois de conservation hyperboliques.
Elle peut en effet être quantifiée par des arguments de type EDO pour une classe de problèmes incluant l’équation de Burgers
généralisée et les équations d’agrégation-diffusion incluant notamment le cas de Keller-Segel parabolique-elliptique 1D.
Il est bien plus délicat de comprendre le comportement à petite échelle des couches visqueuses dans des régularisations
paraboliques (classiques ou fractionnaires) de ces lois de conservation.

Nous donnons des estimées précises pour les normes de Sobolev et nous en déduisons des informations
sur les incréments et le spectre d’énergie, quantités pertinentes pour la théorie de la turbulence.
De plus, nos résultats sont toujours valables en présence d’un forçage additif aléatoire.
A notre connaissance, il s’agit des seules estimées précises de ce type connues à ce jour pour des solutions
d’EDP non linéaires à petit paramètre.

Le travail sur les équations de type agrégation-diffusion est une collaboration en cours avec Piotr Biler
et Grzegorz Karch (Wroclaw) et Philippe Laurençot (Toulouse).

 

Lundi 9 décembre 2019 à 10h30
Elisa Sovrano (EHESS, CAMS)
Multiplicity of positive solutions for indefinite nonlinear problems in population genetics

Résumé

In this seminar, we deal with a reaction-diffusion boundary-value problem that describes the evolution of allele frequencies at one locus under the action of migration and selection. We also assume no flux of genes across the boundary. The investigations on positive non-constant stationary solutions is a decisive step to explore the dynamics of migration-selection models. Hence, we consider the Neumann problem associated with a second-order nonlinear differential equation with a factored reaction term as a product of a sign-indefinite function and a logistic-type nonlinearity. We discuss how these factors influence the number of positive solutions.

 

Lundi 2 décembre 2019 à 10h30
Julien Vovelle (ENS Lyon)
Lois de conservation stochastiques

Résumé

Je présenterai différents aspects de l’étude des lois de conservation stochastiques d’ordre un : problème de Cauchy, comportement en temps grand (travaux en collaboration avec Arnaud Debussche), approximation numérique (travaux en collaboration avec Sylvain Dotti).

 

Lundi 25 novembre 2019 à 10h30
Maria Magdalena Boureanu (University of Craiova)
On the variable exponent spaces and some classes of Robin problems

Résumé

The variable exponent spaces have been extensively studied later, together with the effect of their properties on the variable exponent problems. A substantial part of this increased interest is due to the large range of real-life applications that can be generated by such problems. This presentation will shortly refer to these research developments with the mention that it will also touch a less-covered subject, the one of the Robin problems cast on non-smooth domains.

 

Lundi 18 novembre 2019 à 10h30
Denys Dutykh (LAMA, Chambery)
Nonlinear dispersive wave modelling: mastering the dispersion

Résumé

The present talk will be devoted to some fully nonlinear long-wave models. It is always tempting to increase their range of validity by applying the Bona-Smith-Nwogu trick or alike. However, a direct application of this ’enhancement’ procedure usually destroys the Galilean invariance and/or the total mechanical energy conservation properties. In this talk, we shall illustrate how to perform this operation carefully by preserving all fundamental physical properties of the resulting system and achieving the initial goal.

 

Lundi 11 novembre 2019 à 10h30 : férié
 

Lundi 4 novembre 2019 à 10h30
Lionel Rosier (Calais)
Contrôlabilité à zéro de l’équation des ondes avec un amortissement de Kelvin-Voigt
 

Lundi 28 octobre 2019 à 10h30 : relâche
 

Lundi 21 octobre 2019 à 10h30
Nathalie Verdière (Le Havre)
Identifiability analysis and parameter estimation of a spatial model describing the propagation of the chikungunya disease

Résumé

The present talk is devoted to the notion of identifiability in a spatial model describing the propagation of the chikungunya disease in the $L^2$ framework. This model is a coupling model of reaction-diffusion and ordinary differential equations systems. Some of its parameter values are unknown and must be estimated from some input-output measurements. However, before putting in place an estimation procedure, an identifiability study is required to ensure that the parameter values of the mathematical model can be uniquely inferred from the available measurements. The identifiability study of the chikungunya model is done from an elimination procedure providing relations called input-output polynomials and linking the unknown parameters, the inputs and the outputs of the model. From these polynomials, a numerical procedure is proposed to give a first initial guess of the unknown parameters.

 

Lundi 14 octobre 2019 à 10h30
Jimmy Lamboley (UPMC)
Diagramme de Blaschke-Santalo et valeurs propres

Résumé

Etant données trois fonctionnelles de forme (fonction associant à un domaine de R^n un réel), on peut chercher à décrire toutes les inégalités possibles faisant intervenir ces trois fonctionnelles, pour une certaine classe de domaines. Cette étude passe par la recherche d’un diagramme dit de Blaschke-Santalo (voir ci-dessous dans un exemple). Ces questions ont été largement étudiées dans le cas de fonctionnelles géométriques et pour des domaines planaires, même s’il reste quelques problèmes ouverts. L’objectif est ici d’étendre cette étude à des fonctionnelles de type spectral ou EDP. Si on note lambda_1 la première valeur propre du Laplacien avec condition de Dirichlet, P le périmètre et |.| le volume, on est par exemple amené à étudier l’ensemble
D :=(x,y), il existe Omega in A, x=P(Omega), y=lambda_1(Omega), |Omega|=1
qui est le diagramme de Blaschke-Santalo du triplet (P,lamba_1,|.|). La classe A peut désigner tantôt l’ensemble des ouverts de R^n, ou l’ensemble des convexes de R^n, ou encore l’ensemble des ouverts homéomorphes à une boule. On donnera une description complète de D dans le cas des ouverts, et des éléments de construction dans le cas des domaines convexes.
Ceci est un travail en cours avec Ilias Ftouhi.

 

Lundi 7 octobre 2019 à 10h30
Flaviana Iurlano (UPMC)
Concentration versus oscillation effects in brittle damage

Résumé

This work is concerned with an asymptotic analysis, in the
sense of $\Gamma$-convergence, of a sequence of variational models of brittle damage in the context of linearized elasticity. The study is performed as the damaged zone concentrates into a set of zero volume and, at the same time and to the same order $\varepsilon$, the stiffness of the damaged material becomes small. Three main features make the analysis highly nontrivial: at $\varepsilon$ fixed, minimizing sequences of each brittle damage model oscillate and develop microstructures; as $\varepsilon\to 0$, concentration of damage and worsening of the elastic properties are favoured; and the competition of these phenomena translates into a degeneration
of the growth of the elastic energy, which passes from being quadratic
(at $\varepsilon$ fixed) to being linear (in the limit). Consequently, homogenization effects interact with singularity formation in a nontrivial way, which requires new methods of analysis. In particular, the interaction of homogenization with singularity formation in the framework of linearized elasticity appears to not have been considered in the literature so far. We explicitly identify the $\Gamma$-limit in two and three dimensions for
isotropic Hooke tensors. The expression of the limit effective energy turns out to be of Hencky plasticity type. We further consider the regime where the divergence remains square-integrable in the limit, which leads to a Tresca-type model.

 

Lundi 9 septembre 2019 à 10h30
Ludovic Goudenège (CentraleSupélec)
Ordre de convergence faible et fort pour des approximations
numériques de l’équation d’Allen-Cahn stochastique

Résumé

Après une introduction des ordres de convergence forts et faibles pour des équations aux dérivées partielles stochastiques, je montrerai comment on peut obtenir ces ordres pour des approximations numériques de l’équation d’Allen-Cahn stochastique. La difficulté principale réside dans la non-linéarité qui n’est pas globalement Lipschitz. Cette difficulté est contournée via une méthode de splitting lorsque le flot non-linéaire peut être résolu explicitement.