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Séminaire d’analyse appliquée A 3 2018-2019

par Laurent Renault - publié le

Année 2018-2019

Lundi 17 juin 2019 à 10h30
Noureddine Igbida (Limoges)
Le tas de sable 8 ans après : une équation de Hamilton-Jacobi et une stratégie de type ‘’le meilleur du pire’’

Résumé

Dans cet exposé, je présenterai quelques résultats sur le caractère métrique de l’équation de Hamilton-Jacobi avec obstacle (HJO). J’introduirai une nouvelle formule explicite de la distance intrinsèque associée à HJO, qui montre comment est ce qu’une stratégie de type ‘’le meilleur du pire’’ est inhérente à cette équation pour gérer l’obstacle. Certaines applications concernant les formes d’un tas de sable ou un lac débordant sur un paysage arbitraire de hauteur variable seront présentées pour motiver les résultats. L’exposé vise également des discussions de certaines questions encore ouvertes sur la dynamique correspondante, en proposant de nouvelles orientations basées sur le transport optimal de masse et des dynamiques de type gradient flot dans des espaces métriques.

 

Jeudi 6 juin 2019
Journée Calcul Scientifique et Modélisation Mathématique

 

Lundi et mardi 3 et 4 juin 2019
Workshop Propagation et Aléas (Reims)

 

Lundi 27 mai 2019 à 10h30
Marie Doumic (INRIA, UPMC)
Variations autour des systèmes de Becker-Döring et Lifshitz-Slyozov

Résumé

Pour décrire l’agrégation de particules les unes aux autres par ajout une à une, deux formalismes, l’un discret (le système de Becker-Döring, 1937) l’autre continu (le système de Lifshitz-Slyozov, 1954) ont été introduits, historiquement appliqués au phénomène de changement de phase en physique de type gélation. Plus récemment, nous avons appliqué ces modèles à de nouvelles questions issues de la biologie, venant de la polymérisation des protéines qu’on observe dans de nombreuses maladies, en en particulier Alzheimer. Ces systèmes ont un comportement physique qui ne relève pas de la transition de phase, ce qui nous a conduit à étudier ces systèmes avec de nouvelles hypothèses sur les coefficients de réaction et à en proposer des variantes.

 

Lundi 20 mai 2019 à 10h30
Vicentiu Radulescu (Bucharest)

Problèmes à double phase et croissance variable

Résumé

Nous considérons plusieurs classes d’intégrales variationnelles à double phase conduites par des potentiels non homogènes. Nous étudions les équations d’Euler associées et soulignons quelques nouvelles propriétés. Nous signalons des phénomènes de concentration du spectre, des résultats de non-existence, des effets combinés de termes de réaction et d’absorption, des énergies à double phase conduites par des opérateurs anisotropes de Baouendi-Grushin.

L’analyse développée dans cet exposé étend le cadre abstrait correspondant aux certains cas standard associés à l’opérateur p(x)-Laplace, à l’opérateur de courbure moyenne généralisée ou à l’opérateur différentiel de capillarité à exposant variable. Ces résultats complètent les contributions pionnières de P. Marcellini et G. Mingione dans le domaine des intégrales variationnelles à croissance variable. Nous abordons également certaines perspectives et problèmes ouverts.

 

Lundi 13 mai 2019 à 10h30
Juliette Venel (Valenciennes)
Discrétisation des inclusions différentielles du premier ordre

Résumé

Lors de cet exposé, je présenterai un type particulier d’inclusions différentielles du premier ordre appelés processus de rafle perturbés. Après quelques rappels sur leur caractère bien posé, je proposerai un schéma numérique adapté. Puis, en m’aidant des outils d’analyse convexe et d’optimisation, je montrerai son ordre de convergence.

 

Lundi 6 mai 2019 à 10h30
Benjamin Boutin (Rennes)
Influence de la condition de bord numérique en hyperbolique linéaire

Résumé

On s’intéresse dans cet exposé à l’analyse des couches limites numériques développées par les schémas aux différences finies explicites à plusieurs pas de temps et d’espace. Le cadre d’étude est limité à celui de l’équation de transport linéaire posée sur la demi-droite réelle avec une condition de bord numérique du type Dirichlet homogène. Sous les hypothèses habituelles de stabilité pour le problème de Cauchy discret, nous discuterons de la possible description qualitative de la solution numérique dans différentes situations.

 

Lundi 29 avril 2019 à 10h30
Axel Modave (CNRS-ENSTA-INRIA, Palaiseau)
Conditions aux limites absorbantes d’ordre élevé pour l’équation de Helmholtz : traitement des coins et application en décomposition de domaine

Résumé

La résolution numérique de problèmes de propagation d’ondes avec des méthodes d’éléments finis est coûteuse en temps de calcul et en mémoire. En pratique, il est indispensable de réduire autant que possible la taille du domaine de calcul en introduisant une frontière artificielle (transparente) dans le modèle, et de coupler le schéma numérique avec une méthode de décomposition de domaine (DDM) pour permettre une résolution efficace sur des machines parallèles.
Dans cet exposé, je présenterai des résultats récents sur l’utilisation de conditions aux limites absorbantes d’ordre élevé (HABC) sur des domaines de calcul avec des coins. Deux stratégies pour traiter les coins seront présentées et comparées sur base de résultats numériques. L’une d’elle permet de traiter parfaitement les coins avec des angles droits. Dans un deuxième temps, j’expliquerai comment cette stratégie peut accélérer une méthode de décomposition de domaine (de type Schwarz optimisé) pour des partitions du domaine avec des points de jonction. Ces travaux sont réalisés en collaboration avec Christophe Geuzaine et Xavier Antoine.

 

Lundi 22 avril 2019 : férié

 

Lundi 8 et 15 avril 2019 : relâche

 

Lundi 1 avril 2019 à 10h30
Damiano Lombardi (Inria Paris)
Méthodes tensorielles dynamiques et adaptatives

Résumé

Lors qu’on doit approcher la solution d’un problème en dimension élevée, on est confronté au phénomène de la malediction de la dimension, qui rend l’utilisation des méthodes classiques de discretisation impossible. Les méthodes tensorielles sont une classe de méthodes, actuellement très étudiées, pour approcher la solution des problèmes en dimension élevée. Dans la plupart des méthodes proposées, le nombre de termes dans la decomposition tensorielle est fixé à l’avance. L’objectif des travaux exposés est de définir des méthodes tensorielles dans lesquelles le nombre des termes (le rang du tenseur) et les termes sont définis de façon à respecter un critère de précision donné, pertinent au problème étudié. Le premier travail proposé est la discretisation des equations de Vlasov-Poisson par une méthode tensorielle adaptative qui respecte la nature hamiltonienne du problème. Les résultats obtenus ont motivé la mise au point de méthodes adaptatives où le tenseur est divisé, à l’aide d’une structure d’arbre hiérarchique, en sous tenseurs.

 

Lundi 25 mars 2019 à 10h30
Jean-Baptiste Castéras (Bruxelles)
Equation non-linéaire d’Helmholtz dans l’espace hyperbolique.

Résumé

Dans cet exposé, nous nous intéresserons à l’impact de la géométrie sur la solvabilité de l’équation non-linéaire de Helmholtz. Nous montrerons en particulier que, dans l’espace hyperbolique,cette équation admets des solutions pour une classe de non-linéarités plus large que dans le cas euclidien. Nous obtiendrons également des contre-exemples aux inégalités de Strichartz dans l’espace hyperbolique. Travail en collaboration avec Rainer Mandel.

 

Lundi 18 mars 2019 à 10h30
Laurent Bourgeois (ENSTA)
La méthode de quasi-réversibilité pour résoudre les problèmes linéaires gouvernés par des EDP et mal-posés.

Résumé

Dans cet exposé on fera un petit tour d’horizon des différentes méthodes de quasi-réversibilité depuis le livre fondateur de Lattès et Lions de 1967.
En particulier, on illustrera ces méthodes sur le très classique problème de Cauchy du Laplacien, qui nous servira de fil rouge.
Dans sa version originale, la méthode de quasi-réversibilité consiste à remplacer le problème mal-posé d’ordre 2 par une famille
de problèmes bien-posés d’ordre 4 dépendant d’un petit paramètre de régularisation.
On montrera les avantages des formulations mixtes et on s’attardera sur le choix du paramètre de régularisation en fonction de l’amplitude du bruit.

 

Lundi 11 mars 2019 à 10h30
Julien Vovelle (ENS Lyon)
Lois de conservation stochastiques

Résumé

Je présenterai différents aspects de l’étude des lois de conservation stochastiques d’ordre un : problème de Cauchy, comportement en temps grand (travaux en collaboration avec Arnaud Debussche), approximation numérique (travaux en collaboration avec Sylvain Dotti)

 

Lundi 4 mars 2019 à 10h30
Jimmy Lamboley (Paris 6)
Diagramme de Blaschke-Santalo et valeurs propres

Résumé

Etant données trois fonctionnelles de forme (fonction associant à un domaine de R^n un réel), on peut chercher à décrire toutes les inégalités possibles faisant intervenir ces trois fonctionnelles, pour une certaine classe de domaines. Cette étude passe par la recherche d’un diagramme dit de Blaschke-Santalo (voir ci-dessous dans un exemple). Ces questions ont été largement étudiées dans le cas de fonctionnelles géométriques et pour des domaines planaires, même s’il reste quelques problèmes ouverts. L’objectif est ici d’étendre cette étude à des fonctionnelles de type spectral ou EDP. Si on note lambda_1 la première valeur propre du Laplacien avec condition de Dirichlet, P le périmètre et |.| le volume, on est par exemple amené à étudier l’ensemble

D :={(x,y), il existe Omega in A, x=P(Omega), y=lambda_1(Omega), |Omega|=1}

qui est le diagramme de Blaschke-Santalo du triplet (P,lamba_1,|.|). La classe A peut désigner tantôt l’ensemble des ouverts de R^n, ou l’ensemble des convexes de R^n, ou encore l’ensemble des ouverts homéomorphes à une boule. On donnera une description complète de D dans le cas des ouverts, et des éléments de construction dans le cas des domaines convexes.
Ceci est un travail en cours avec Ilias Ftouhi.

 

Lundi 25 février 2019 à 10h30
Carole Le Guyader (Rouen)
Variational models for joint segmentation, registration and atlas generation based on nonlinear elasticity principles and nonlocal shape descriptors

Résumé

Segmentation and registration are cornerstone steps of many imaging situations : while segmentation aims to identify relevant constituents of an image for visualization or quantitative analysis, registration consists of mapping salient features of an image onto the corresponding ones in another. Instead of treating these tasks linearly one after another, so without correlating them, we
propose a unified variational model, in a hyperelasticity setting, processing these two operations simultaneously.
More precisely, in this work, we address the issue of designing theoretically well-motivated joint segmentation/registration methods capable of handling large deformations while keeping them physically feasible. The shapes to be matched are modeled as isotropic, homogeneous and hyperelastic materials.
In a first model, the objects to be aligned are viewed as Saint-Venant Kirchoff materials. The goal is to minimize a functional containing a nonlinear-elasticity-based regularizer and a dissimilarity measure that relates local and global (i.e. region-based) information, since relying on weighted total variation and nonlocal shape descriptors inspired by the piecewise constant Mumford-Shah model. Theoretical results emphasizing the mathematical and practical soundness of the model are provided, among which existence of minimizers, connection with the segmentation step, nonlocal characterization of weighted semi-norms, asymptotic results and Γ-convergence properties.
In a second model, we propose segmenting and registering a whole dataset of images to a same image that will be an unknown of the problem and that will be considered as a meaningful statistical representation of the dataset.
In a variational framework, the structures to be aligned are viewed as Ogden materials and the segmentation is based on the Potts’ model which allows for a partition in more than two regions. We then approximate our deformation maps in a linear space to perform a Principal Component Analysis and study the main modes of variations in our initial dataset. Both theoretical results and preliminary numerical results are provided.

This is a joint work with Noémie DEBROUX and Carola SCHÖNLIEB, Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics, University of Cambridge, U.K., and John Aston, Statslab, University of Cambridge, U.K..
This work is co-financed by the European Union with the European regional development fund (ERDF, HN0002137) and by the Normandie Regional Council via the M2NUM project.

 

Lundi 18 février 2019 : relâche

 

Lundi 11 février 2019 à 10h30
François James (Orléans)
Un modèle de Saint-Venant étendu : friction et couche visqueuse

Résumé

On revisite la dérivation classique des équations de Saint-Venant à partir de Navier-Stokes, pour mieux comprendre l’origine des termes de friction. Une analyse fine du profil vertical de vitesse montre que l’on peut obtenir un terme de frottement en superposant une couche visqueuse proche du fond et une couche de fluide parfait. Le prix à payer est une équation supplémentaire dans le modèle intégré, l’avantage est un terme de friction dynamique, qui permet de prendre en compte un certain déphasage entre le frottement et le fond, qui a une grande importance dans les phénomènes d’érosion.

 

Lundi 4 février 2019 à 10h30
Olivier Goubet (LAMFA)
Analyticité de l’attracteur global des équations de KdV dissipatives

 

Lundi 28 janvier 2019 à 10h30
Youcef Mammeri (LAMFA)
1 an à l’INRA : quelques problèmes d’EDP en écologie

Résumé

Je présenterai quelques-uns des nouveaux problèmes liés à des questions de physiologie et d’invasion biologique abordés lors de ma délégation à l’INRA.
J’examinerai leur résolution théorique et numérique à travers des systèmes d’équations paraboliques, hyperboliques et/ou stochastiques.

 

Lundi 21 janvier 2019 à 10h30
Antonio J. Fernandez (Besançon et Valenciennes)
On a class of elliptic problems with quadratic growth in the gradient

Résumé

This talk focus on the boundary value problem
−∆u = c(x)u + μ(x)|∇u|^2 + h(x) , in Ω ,
u = 0, on ∂Ω.
Solutions are searched in the function space H^1_0(Ω) ∩ L^∞(Ω) where Ω ⊂ R^N, N ≥ 2, a bounded domain with smooth boundary. It is assumed that c, h belong to L^p(Ω) for some p > N/2 and μ belongs to L^∞(Ω).
In the case where c(x) ≤ α_0 < 0, now referred to as the coercive case, this problem has been studied since the 80’s and the existence of an unique solution is the rule. Recently other cases, in particular assuming that c(x) ≥ 0 or that c(x) changes sign, started to be considered. We shall present some of the main contributions in these non-coercive cases. We will see that both existence and uniqueness may now be lost.
The talk is based in joints works with Colette De Coster (Université Polytechnique des Hauts-de-France) and Louis Jeanjean (Université de Franche-Comté).

 

Lundi 14 janvier 2019 à 10h30
Yohan Penel (INRIA Paris)
Modelling complex flows : a multilayer approach

Résumé

In the purpose of approximating the incompressible Euler system with free surface, we present a general framework to construct models comprising non-hydrostatic effects. Hence, a hierarchy of new models is derived by means of a layerwise discretisation approach. To assess these models, we use a rigorous derivation process based on a Galerkin-type approximation along the vertical axis of the velocity -eld and of the pressure. It is also proven that all of them satisfy an energy equality. In addition, we analyse the linear dispersion relation of these models and prove that the latter relations converge to the dispersion relation for the Euler equations when the number of layers goes to infinity. Some numerical approches are proposed to find a balance between accuracy and efficiency.

 

Lundi 7 janvier 2019 à 10h30
Serge Nicaise (Valenciennes)
Stabilisation du modèle de Drude-vide

Résumé

Nous analyserons la stabilité d’un milieu dispersif immergé dans le vide (avec condition aux limites de Silver-Müller sur le bord extérieur) ou l’inverse. Le milieu dispersif correspond au couplage entre le système de Maxwell et une équation différentielle ordinaire (du type parabolique). Dans le cas d’un milieu dispersif couplé avec le vide, l’équation différentielle ordinaire est seulement posée sur un sous-domaine du domaine complet. Nous montrerons que ce système est bien-posé et est fortement stable dans un sous-espace fermé de l’espace d’énergie. Nous identifierons également des conditions suffisantes qui garantissent la décroissance exponentielle ou polynomiale de l’énergie dans ce sous-espace.

 

Lundi 17 décembre 2018 à 10h30
Morgan Pierre (Poitiers)
Optimisation de forme appliquée à deux problèmes de résistance de vague

Résumé

On considère un objet immergé qui avance à une vitesse constante dans une eau calme. L’eau est assimilée à un fluide parfait incompressible, et l’écoulement dérive d’un potentiel. La résistance de vague est la force de traînée qu’exerce l’eau sur l’objet. Elle est liée à la formation d’un sillage à l’interface eau/air (le paradoxe de d’Alembert montre en effet qu’en l’absence d’une telle interface, la traînée est nulle).
On s’intéressera dans cet exposé à deux problèmes de forme optimale mettant en jeu cette résistance de vague. Le premier est l’optimisation de carènes de navires dans l’approximation des corps élancés. On dispose dans ce cas de la formule de résistance de vague de Michelle qui évite de recourir à une équation d’état. Le deuxième cas est celui d’un cylindre infini complètement immergé. L’équation d’état est alors donnée par le problème de Kelvin-Neumann.

 

Mardi 11 décembre 2018
Journée CACHET (Calculs et Applications à la CHimie, à l’Ecologie et au Traitement des données)

 

Lundi 10 décembre 2018 à 10h30
Clément Cancès (Inria Lille)
Un modèle diphasique de type Cahn-Hilliard dégénéré

Résumé

Nous nous intéressons un modèle de champ de phase pour les écoulements diphasiques incompressibles de type Cahn-Hilliard. Contrairement au modèle classiquement étudié dans la littérature, le flux de chacune des phases est ici proportionnel au potentiel chimique de la phase et non au potentiel chimique généralisé. Ce modèle peut s’interpréter comme un flot de gradient Wasserstein. Nous montrons l’existence de solution grâce à des arguments de calcul des variations. Nous nous intéressons aussi à l’approximation numérique du modèle par un schéma volumes finis.

 

Lundi 3 décembre 2018 à 10h30
Stephanie Lohrengel (Reims)
Modélisation mathématique en imagerie cérébrale : l’exemple de l’EEG et de la NIRS
 

Lundi 26 novembre 2018 à 10h30
Roberto Ognibene (Milano-Bicocca)
Eigenvalues of the Laplacian and their dependence on the domain : regular and singular perturbations

Résumé

In this talk I will consider the eigenvalue problem for the standard Dirichlet-Laplacian on varying domains. After a brief overview about the behaviour of eigenvalues with respect to regular perturbations of the domain, I will take into account a particular singular perturbation, i.e. the attachment (to a fixed bounded domain) of a cylindrical tube, of finite length, whose section is vanishing. In this framework I will state the sharp asymptotic behaviour of perturbed eigenvalues, in the case when the corresponding limit eigenvalue is simple. The main tools are an Almgren-type monotonicity formula and the Courant-Fischer Min-Max characterization of eigenvalues. The result has been obtained in collaboration with prof. Veronica Felli.

 

Lundi 19 novembre 2018 à 10h30
Serge Dumont (Nîmes)
Sur des modèles d’interfaces : résultats théoriques et méthodes numériques
 

Lundi 12 novembre 2018 à 10h30
Hélène Hivert (Centrale Lyon)
Un schéma numérique pour une modélisation cinétique de phénomènes de propagation

 

Lundi 5 novembre 2018 à 10h30
Anne-Sophie Giacobbi (LAMFA)
Etude des mécanismes de résistance au sorafénib dans le carcinome hépatocellulaire

Résumé

Le carcinome hépatocellulaire (HCC) est la forme la plus fréquente du cancer primitif du foie. Le seul traitement de référence au stade avancé du HCC est le sorafénib. Il est prescrit pour son rôle d’inhibiteur d’une voie de transduction du signal, la voie RAS-RAF-MEK-ERK. Cependant, même sous traitement, la survie des patients augmente très peu. De plus, les patients présentent une réponse au sorafénib hétérogène.
Afin de proposer de nouvelles stratégies thérapeutiques, un modèle mathématique décrivant la cinétique des composants de la voie RAS-RAF-MEK-ERK a été construit. Les résultats prédictifs du modèle ont mis en évidence un nouveau mode d’action du sorafénib, ainsi que l’existence de mécanismes de résistance au sorafénib.

 

Lundi 29 octobre 2018 : relâche

 

Lundi 22 octobre 2018 à 10h30
Madalina Petcu (Poitiers)
Sur les équations de Cahn-Hilliard-Navier-Stokes visqueuses avec des conditions dynamiques aux bords

Résumé

Le but de cette présentation est d’étudier du point de vue théorique et numériques les équations de Cahn-Hilliard-Navier-Stokes visqueuses avec différentes conditions dynamiques aux bords. Ce modèle est utilisé dans le but de décrire la dynamique d’un mélange de deux fluides immiscibles et incompressibles. Le choix des conditions aux bords est important, nous permettant de prendre en compte l’interaction entre l’interface des deux fluides et les murs du domaine physique.

 

Lundi 15 octobre 2018 à 10h30
Stefan Le Coz (Toulouse)
Stability of multi-solitons for the derivative nonlinear Schrödinger equation

 

Lundi 8 octobre 2018
Workshop Réduction de modèle et magic points (UTC Compiègne)

 

Lundi 1 octobre 2018 à 10h30
Christophe Troestler (Mons)
Une preuve assistée par ordinateur pour les symétries des solutions nodales d’énergie minimale de Lane-Emden sur le carré

Résumé

Dans cet exposé, nous nous intéresserons aux solutions d’énergie minimale parmi celles qui changent de signe pour le problème de Lane-Emden −∆u=|u|^(p−2)u dans Ω, u=0 sur ∂Ω, avec Ω est un ouvert borné de R^N et p ∈ ]2, 2∗[ où 2∗ est l’exposant critique de Sobolev. La question centrale sera de déterminer le sous-groupe des symétries du domaine qui laisse invariant ces solutions (par une symétrie paire ou impaire). Nous verrons que, même pour des domaines très simples, cette question est délicate. Pour le carré, nous expliquerons comment une preuve assistée par ordinateur permet de résoudre la question pour p proche de 2.

 

Lundi 17 septembre 2018 à 10h30
Marcos Raydan (Caracas)
Nonlinear least-squares approach for large-scale matrix Riccati equations