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Séminaire de Théorie des Groupes en 2018-2019

par Serge Bouc - publié le

Le jeudi à 14h, BC101

Organisateurs :

Serge Bouc
Karine Sorlin

13 septembre 2018
Eirini Chavli (Stuttgart) : Les matrices de décomposition des algèbres de Hecke génériques à 3 brins.

Résumé : En 2009, G. Malle et J. Michel ont construit des modèles pour les représentations irréductibles des algèbres de Hecke génériques associées aux groupes de réflexions complexes de rang 2, qui sont les groupes $G_4$, ... $G_22$. Ces représentations dépendent des paramètres qui définissent l’algèbre de Hecke. Une question naturelle est d’étudier ce qui se passe si on spécialise ces paramètres. Les représentations irréductibles restent-elles irréductibles ? La réponse est positive, si l’algèbre de Hecke spécialisée est semi-simple. Cependant, ce n’est pas toujours le cas. Dans le cas où l’algèbre de Hecke spécialisée n’est pas semi-simple, nous devons décrire la manière dont les représentations irréductibles de l’algèbre de Hecke générique se décomposent en représentations irréductibles de l’algèbre de Hecke spécialisée. La matrice de décomposition enregistre exactement ces informations.

En 2011, M. Chlouveraki et H. Miyachi ont travaillé sur l’algèbre de Hecke cyclotomique (où l’algèbre ne dépend plus que d’un seul paramètre) associée aux groupes exceptionnels de rang 2. En spécialisant le paramètre, ils ont réussi à fournir des matrices de décomposition pour chaque cas. À ce stade, un certain nombre de questions se pose. Pourquoi ces valeurs données au paramètre fournissent-elles différentes matrices de décomposition ? S’agit-il d’une classification du cas générique ou y a t-il d’autres modèles matriciels qui ne sont pas décrits par M. Chlouveraki et H. Miyachi ? Dans cette exposé on va répondre à toutes ces questions pour les cas de $G_4$, $G_8$ et $G_16$ en classifiant toutes les matrices de décomposition qui leurs sont associées

20 septembre 2018
Farrokh Shirjian (Téhéran) : Complex group algebras of almost simple groups of Lie type.

Résumé : A fundamental question in representation theory of finite groups is the extent to which complex group algebra of a finite group determines the group or some of its properties‎.‎‎ ‎‎In 1963‎‎‎‎‎‎‎, ‎R. ‎Brauer ‎asked “when do ‎non-isomorphic ‎groups ‎have ‎isomorphic ‎complex ‎group ‎algebras ?”. ‎Although t‎he ‎question ‎seems to be ‎too ‎general ‎to ‎be ‎answered ‎completely, ‎it ‎has‎ ‎initiated a‎ ‎program aimed at determining all finite groups with isomorphic complex group algebras ‎‎to a given group ‎‎‎G. It ‎is ‎fairly ‎possible ‎for ‎two ‎non-isomorphic solvable ‎groups ‎to ‎have ‎isomorphic ‎complex ‎group ‎algebras‎. However, it seems that (almost/quasi) simple groups have a tight connection with the structure of their complex group algebras. In 2015, it was proved by Bessenrodt-Nguyen-Olsson-Tong-Viet that quasi-simple groups are determined uniquely up to isomorphism by their complex group algebras. In this talk, I will discuss our recent works on extending this result to almost simple groups of Lie type emphasizing on projective general unitary groups of arbitrary rank (joint work with A. Iranmanesh and F. Shafiei).

27 septembre 2018
Daniel Juteau (Paris) : Motifs, algorithmes et programmation.

Résumé : Je vais expliquer, d’après Francis Brown, comment certaines questions en théorie des nombres (irrationalité des valeurs de la fonction zêta) nous amènent à vouloir calculer des motifs sur des espaces de modules (ce sont des motifs de Tate mixtes : ce sont les plus simples à comprendre). Ensuite, j’expliquerai un algorithme que Clément Dupont a développé à cet escient pendant sa thèse, et son implémentation en GAP dans le package MotivesForBiarrangements, qui repose sur CAP (Categories, Algorithms and Programming, qui a été présenté à Amiens l’an dernier par Sebastian Gutsche et Sebastian Posur).

4 octobre 2018
Yann Palu (Amiens) : Catégories extriangulées, paires de cotorsion et structures de modèles.

Résumé : Il s’agit d’un travail en collaboration avec Hiroyuki Nakaoka. La notion de catégorie extriangulée généralise à la fois celle de catégorie exacte et celle de (sous-)catégorie (stable par extension dans une catégorie) triangulée. Les catégories extriangulées forment un cadre bien adapté à l’étude de problèmes issus de la théorie des représentations liés aux paires de cotorsion, ainsi qu’à la théorie d’Auslander-Reiten. Dans cet exposé, je motiverai l’introduction des catégories extriangulées à travers la correspondance de Hovey en algèbre homotopique. J’expliquerai comment la donnée d’une structure de modèle "compatible" à la structure extriangulée équivaut à celle de deux paires de cotorsion, satisfaisant certaines propriétés. Ceci nous permet de démontrer que la catégorie homotopique d’une structure de modèle exacte est toujours triangulée ; ce qui n’était connu auparavant que pour les structures de modèles "héréditaires", et dans le cadre des catégories exactes (résultat dû à Gillespie).

11 octobre 2018
Daniel Tanré (Lille) : Dualité de Poincaré et Cohomologie d’intersection.

Résumé : La dualité de Poincaré des variétés peut être étendue à certains espaces singuliers, comme les pseudovariétés, grâce à l’homologie d’intersection de M. Goresky et R. MacPherson. Je montrerai comment un ’’éclatement simplicial’’ en donne une représentation en termes de complexes de chaînes, avec des exemples illustrant les différences entre la situation classique et celle avec singularités.
Il s’agit d’un travail en collaboration avec D. Chataur (Amiens) et M. Saralagi-Aranguren (Lens-Artois).

18 octobre 2018
Ivo Dell’Ambrogio (Lille) : Une catégorification des foncteurs de Mackey.

Résumé : Les catégories additives « d’objets équivariants » en algèbre, géométrie et topologie se présentent très souvent en familles indexées par les groupes finis, les catégories de chaque famille étant reliées entre elles par des foncteurs de restriction, induction et conjugaison. Parmi les exemples typiques on trouve les catégories (abéliennes, dérivées, ou stables) des représentations linéaires, les catégories dérivées des faisceaux équivariants, les catégories homotopiques des spectres équivariants, etc. Une fois décatégorifiées, c’est à dire après avoir remplacé chaque catégorie par un groupe abélien — par exemple en appliquant $K_0$ — ces familles donnent lieu à des structures bien connues, notamment des foncteurs de Mackey ou des foncteurs à bïensembles.

Dans cet exposé, je vais présenter un travail en commun avec Paul Balmer (arXiv:1808.04902) dont le but est de comprendre la structure algébrique plus riche, (2-)catégorique, qui existe dans tous ces exemples en amont de la décatégorification. La théorie des « 2-foncteurs de Mackey » qui en résulte nous permet d’expliquer certains phénomèmes équivariants qui restent invisibles au point de vue classique. L’exemple universel d’un 2-foncteur de Mackey est fourni par une certaine bicatégorie de spans dans les groupoïdes finis ; malgré les apparences, on peut utiliser cette dernière pour effectuer des calculs concrets, par exemple pour en obtenir des décompositions en blocs.

25 octobre 2018
1er novembre 2018
Pas de séance : vacances d’automne.

8 novembre 2018
Farideh Shafiei (Téhéran) : Finite groups and their irreducible complex character degrees.

Résumé : Let G be a finite group and cd(G) denotes the set of the degrees of irreducible complex characters of G. A general question on character degrees is how the set cd(G) reflects and is reflected by the structure of the group. There are several results devoted to studying groups with few character degrees. In 2005, G. Malle and A. Moreto classified non-solvable groups with four character degrees. To aid in the study of the relation between cd(G) and the structure of G, several graphs have been attached to cd(G). The common divisor graph of G, denoted by Γ(G), is a simple graph whose vertices are non-trivial character degrees of G, and two vertices are adjacent if they are not relatively prime. Extending the result of Malle—Moreto, we concentrate on non-solvable groups with six character degrees and classify graphs with five vertices that may occur as Γ(G) some non-solvable group G. In this talk, I will discuss my recent work concerning the above question.

15 novembre 2018
Bernhard Keller (Paris) : La cohomologie singulière via la catégorie des singularités.

Résumé : La catégorie des singularités (ou catégorie dérivée stable) d’une algèbre (associative, non commutative, noethérienne) a été introduite par Buchweitz en 1986 et redécouverte par Orlov en 2003 sous sa variante schématique. Elle s’annule ssi l’algèbre est de dimension globale finie et mesure donc le défaut de régularité de l’algèbre, interprétation confirmée par les résultats géométriques d’Orlov. Buchweitz a défini la cohomologie de Hochschild singulière (ou cohomologie de Tate-Hochschild) d’une algèbre A en analogie avec la cohomologie de Hochschild comme l’algèbre de Yoneda de A dans la catégorie des singularités des A-bimodules. Dans sa thèse sous la direction d’Alexander Zimmermann, Zhengfang Wang a montré que la cohomologie singulière jouit de propriétés remarquables analogues de celles de la cohomologie de Hochschild classique. Ses résultats suggèrent que la cohomologie de Hochschild singulière pourrait en fait être la cohomologie de Hochschild classique de la catégorie des singularités (munie de son enrichissement différentiel gradué canonique). Nous montrons que c’est effectivement le cas. Plus précisément, nous obtenons un isomorphisme d’algèbres graduées entre la cohomologie de Hochschild singulière de A et la cohomologie de Hochschild de sa catégorie des singularités. Nous conjecturons que cet isomorphisme respecte aussi le crochet de Gerstenhaber (dû à Gerstenhaber dans le cas classique et à Wang dans le cas singulier). Dans un travail en commun avec Zheng Hua, nous obtenons comme application un théorème de reconstruction d’une singularité d’hypersurface de Gorenstein à partir de sa catégorie des singularités.

22 novembre 2018
Baptiste Rognerud (Bielefeld) : Les ensembles ordonnés de Tamari sont Calabi-Yau fractionnaires.

Résumé : Les ensembles ordonnés de Tamari sont des ordres (partiels) classiques et bien étudiés. Ils apparaissent de façon naturelle en théorie des représentations des algèbres comme ensembles ordonnés des modules basculants sur un carquois équiorienté de type $A$ mais aussi comme ensembles cambriens du même type.

Chapoton a été un des premiers à se rendre compte que la théorie des représentations des algèbres d’incidences de ces ensembles est en elle-même extrêmement fascinante. Il démontre en 2004 que les matrices de Coxeter des ensembles ordonnés de Tamari sont périodiques. Peu de temps après, il conjecture un résultat plus fort : les catégories dérivées bornées des algèbres d’incidences des ensembles ordonnés de Tamari sont Calabi-Yau fractionnaires. c’est-à-dire qu’une certaine puissance de leur foncteur de Serre est isomorphe à un foncteur de décalage.

Dans cet exposé, après avoir donné des exemples élémentaires d’ensembles ordonnés Calabi-Yau fractionnaires, je présenterai les ingrédients principaux de la démonstration de cette conjecture.

29 novembre 2018
Sondre Kvamme (Orsay) : La catégorie des singularités d’une sous-catégorie dZ-amas-basculante.

Résumé : La catégorie des singularités d’un anneau noethérien a été introduite par Buchweitz comme un invariant utile d’anneaux. C’est une catégorie triangulée qui peut, par exemple, détecter si la dimension globale de l’anneau est finie. Le but de cet exposé est d’expliquer un lien entre la théorie d’Auslander-Reiten supérieure qui a été introduite par Iyama, et la catégorie des singularités. Plus précisément, pour une catégorie exacte ayant assez de projectifs et avec une sous-catégorie dZ-amas-basculante, la catégorie des singularités possède une sous-catégorie dZ-amas-basculante. Nous allons aussi parler un peu de la demonstration de cette affirmation, qui utilise la description de la catégorie des singularités comme l’extension d’une catégorie co-suspendue obtenue par Keller et Vossieck.

6 décembre 2018
Peter Jorgensen (Newcastle) : Exposé annulé.

13 décembre 2018
Auguste Hébert (Lyon) : Algèbre d’Iwahori-Hecke complétée pour les groupes de Kac-Moody sur les corps locaux.

Résumé : Soit G un groupe réductif sur un corps local non-archimédien. À tout sous-groupe ouvert compact K de G, on peut attacher une algèbre de Hecke. Ces algèbres sont un outil important dans l’étude des représentations lisses de G. Deux de ces algèbres sont particulièrement intéressantes : l’algèbre de Hecke sphérique, associée au sous-groupe sphérique et l’algèbre d’Iwahori-Hecke, associée au sous-groupe d’Iwahori. Par des théorèmes de Satake et de Bernstein, l’algèbre de Hecke sphérique est isomorphe au centre de l’algèbre d’Iwahori-Hecke.
Soit maintenant G un groupe de Kac-Moody sur un corps local non archimédien. Des travaux récents de Braverman, Kazhdan et Patnaik (dans le cas affine) puis de Bardy-Panse, Gaussent et Rousseau (dans le cas général) permettent d’associer une algèbre de Hecke sphérique et une algèbre d’Iwahori-Hecke à G. Avec Abdellatif, nous avons montré que le centre de l’algèbre d’Iwahori-Hecke est alors plus ou moins trivial et n’est donc plus isomorphe à l’algèbre de Hecke sphérique. Nous introduisons alors une « complétion » de l’algèbre d’Iwahori-Hecke, dont le centre est isomorphe à l’algèbre de Hecke sphérique.

20 décembre 2018
Thomas Gobet (Sydney) : Une catégorie de Soergel pour les groupes cycliques.

Résumé : Nous introduisons une catégorie de bimodules de Soergel pour les groupes de réflexions complexes de rang un. Nous donnons une classification des objets indécomposables de la categorie ainsi qu’une présentation par générateurs et relations de son anneau de Grothendieck scindé. Cet anneau est une extension de l’algèbre de Hecke du groupe cyclique, et d’une algèbre introduite par Bonnafé et Rouquier. Lorsqu’elle est définie sur le corps des nombres complexes, elle est génériquement semi-simple. Il s’agit d’un travail en commun avec Anne-Laure Thiel.

10 janvier 2019
Nadia Romero (Guanajuato) : Le centre d’un foncteur de Green à bi-ensembles.

Un foncteur de Green à bi-ensembles est un monoïde dans la catégorie monoïdale des foncteurs à bi-ensembles. A chaque foncteur de Green à bi-ensembles A, on peut associer deux autres foncteurs de Green, son commutant CA, et son centre ZA. Dans cet exposé, on présentera quelques propriétés de ces deux objets, qui permettent notamment de décomposer la catégorie des A-modules en un produit de catégories abéliennes. Il s’agit d’un travail en commun avec Serge Bouc.

17 janvier 2019
Olivier Dudas (Paris) : Translations sur les variétés de Deligne-Lusztig.

Résumé : Je présenterai des résultats récents obtenus en commun avec C. Bonnafé et R. Rouquier sur la cohomologie des variétés de Deligne-Lusztig. Ces variétés sont associées à un élément du monoïde de tresses d’Artin-Tits d’un groupe de Weyl W, et leur cohomologie est un outil essentiel dans la construction des représentations des groupes finis de type de Lie, tels que GLn(q) ou SOn(q). J’expliquerai l’effet sur leur cohomologie de la translation d’un élément du monoide par le générateur du centre (égal au carré de l’élément de plus grande longueur de W). Cela correspond à un changement de t-structure dans une certaine catégorie de faisceaux qui se traduit par de simples décalages explicites de la cohomologie.

24 janvier 2019
Serge Bouc (Amiens) : B-groupes relatifs.

Résumé : L’étude du treillis des idéaux du foncteur de Green à bi-ensembles QB fait apparaître la notion combinatoire de B-groupe fini, qui présente plusieurs caractéristiques inattendues. Dans cet exposé, j’expliquerai comment l’étude des idéaux des foncteurs de Burnside décalés QB_G conduit dans le même esprit à la notion de B-groupe relatif, et comment les propriétés des B-groupes s’étendent aux B-groupes relatifs.

31 janvier 2019
Muriel Livernet (Paris) : Théories homotopiques des bicomplexes et complexes filtrés.

Résumé : Depuis leur introduction par Leray dans les années 50 les suites spectrales sont devenues essentielles dans beaucoup de domaines mathématiques comme outil de calcul homologiques et homotopiques.
Parmi les sources importantes de suites spectrales on trouve les bicomplexes et les complexes filtrés. On introduit pour chacune de ces catégories la notion de E_r-quasi-isomorphisme, liée à la r-ième page des suites spectrales associées aux objets considérés. On montrera dans cet exposé, une fois toutes les notions utiles définies (y compris les structures de catégorie modèles) que la catégorie des bicomplexes admet des structures de catégorie modèle au sens de Quillen, où les équivalences faibles sont les E_r-quasi-isomorphismes. Si le temps le permet on esquissera un résultat similaire pour les complexes filtrés.

Ceci est un travail en commun avec : Joana Cirici, Daniela Egas-Santander et Sarah Whitehouse.

7 février 2019
Patrick Dehornoy (Caen) : Combinatoire de Garside pour le monoïde de Thompson et un amalgame avec les tresses.
Résumé : Sur l’exemple historique de la tresse Delta_n, un élément de Garside dans un monoïde M est un élément Delta, ou une famille d’éléments Delta_n, dont les diviseurs donnent une décomposition canonique pour tous les éléments de M. On décrira cette approche dans le cas du monoïde de Thompson F^+, proche d’un monoïde commutatif libre avec 2^n diviseurs de Delta_n, et dans celui, plus compliqué combinatoirement, d’un monoïde qui est une sorte d’amalgame de F^+ et du monoïde tresses B_infty^+ (thèse d’Emilie Tesson).

14 février 2019
Hiroyuki Nakaoka (Kagoshima) : Finite gentle repetitions of gentle algebras and their Avella-Alaminos—Geiss invariants.

Résumé : We consider a repetition procedure to construct gentle algebras out of a given gentle bound quiver. I would like to show how their Avella-Alaminos—Geiss invariants are determined by those of the original one, and how this repetition can be expressed by an upper-triangular matrix algebra. I will also mention a few cases where this procedure preserves derived equivalences.

7 mars 2019
Alexander Zimmermann (Amiens) : Dégénérescence de zéro dans des catégories triangulées.

Résumé : Ce travail est commun avec Manuel Saorin. L’ensemble des structures de A-module sur un espace vectoriel de dimension finie forme une variété affine sur laquelle un groupe algébrique G agit. Les orbites correspondent aux classes d’isomorphisme. Un module M dégénère vers un module N si N appartient à l’adhérence de Zariski de l’orbite de M. 
Zwara et Riedtmann montrent que ceci est équivalent à l’existence d’une certaine suite exacte de modules. Remplaçant les suites exactes par les triangles distingués on obtient un concept de dégénérescence pour les catégories triangulées. Il était connu depuis longtemps que l’objet zéro d’une catégorie triangulée dégénère vers tous les objets Z\oplus Z[1]. Suivant une idée de Yoshino, le concept à caractère géométrique a été généralisé aux catégories triangulées dans un travail avec Manuel Saorin. A cette fin une théorie de déformations a été développée, et on a montré que cette théorie de dégénérescence géométrique est équivalente, sous certaines conditions, à la version algébrique.
Dans cet exposé on présente une étude systématique des dégénérescence de l’objet zéro. Quant au concept géométrique, contrairement au cas des modules, on a dû admettre des structures de déformations avec torsion. Il s’avère que les dégénérescences provenant des structures de torsion correspondent exactement aux dégénérescences de l’objet zéro. Quant au concept algébrique on montre que les dégénérescences de zéro sont à la base de toute autre dégénérescence, et on clarifie le lien avec les objets qui disparaissent dans le groupe de Grothendieck.

14 mars 2019
Sylvain Douteau (Amiens) : Théorème de Whitehead et groupes d’homotopies dans les catégories modèles.

Résumé : Dans sa forme historique, le théorème de Whitehead dit qu’un morphisme entre CW-complexe admet un inverse à homotopie près si et seulement si il induit un isomorphisme sur tout les groupes d’homotopies. A priori, ce résultat n’a de sens que dans le cas des espaces topologiques mais la théorie des catégories modèles permet de le comprendre comme un cas particulier d’un phénomène général.
Après une introduction sur la notion de catégorie modèle, on verra à travers des exemples comment définir des "groupes d’homotopies" et comprendre le théorème de Whitehead dans une catégorie modèle. On appliquera ensuite ces observations à la construction d’une catégorie modèle pour les espaces stratifiés.

21 mars 2019
Clément Guillaume (Amiens) : Quelques propriétés des foncteurs de correspondances généralisées.

Résumé : étant donné un treillis distributif fini T, la catégorie des correspondances généralisées (à valeurs dans T) a pour objets les ensembles finis et pour flèches de X vers Y les applications Y × X → T ; un foncteur de correspondances généralisées sur un anneau commutatif k est alors un foncteur de cette catégorie vers la catégorie des k-modules, c’est-à-dire une représentation k-linéaire de cette catégorie. Dans un tel contexte, l’étude des foncteurs simples est généralement fructueuse ; la situation présente n’échappe pas à cette règle puisque non seulement l’étude des foncteurs simples est intéressante per se, généralisant notamment des résultats connus pour « le » treillis à deux éléments, mais encore elle permet d’obtenir des résultats, notamment d’engendrement fini et de stabilisation, valables pour tous les foncteurs de correspondances généralisées.

28 mars 2019
Nicolas Jacon (Reims) : Sur les règles de branchement du groupe symétrique et d’algèbres associées.

Résumé : Les règles de branchement du groupe symétrique en caractéristique 0 se déduisent de l’étude d’un graphe combinatoire appelé graphe de Young. En caractéristique positive, de telles règles sont aussi contrôlées par un graphe combinatoire remarquable issu de la théorie des représentations des groupes quantiques. Dans cet exposé, nous étudions divers problèmes de branchement concernant des algèbres liés aux groupe symétriques (algèbres de Hecke, de Ariki Koike ou Algèbres de Cherednik rationnelle) et nous présentons les objets combinatoires qui permettent de les étudier. Nous donnerons aussi quelques applications liées à la théorie des représentations de ces algèbres.

4 avril 2019
Ivan Marin (Amiens) : Algèbre de Brauer pour les groupes de réflexions.

Résumé : L’algèbre des diagrammes de Brauer est une extension de l’algèbre de groupe du groupe symétrique, et est son analogue pour la dualité de Schur-Weyl associée aux groupes orthogonaux et symplectiques. Cette algèbre a été généralisée aux groupes de Weyl de type ADE par Cohen, Frenk et Wales dans les années 2000, et par Chen à tous les groupes de réflexions dans les années 2010. Cet exposé présentera cette algèbre, des développements récents sur le sujet, ainsi que les problèmes à résoudre pour prolonger son étude.

25 avril 2019
Salvatore Stella (Haifa) : Acyclic cluster algebras via Coxeter double Bruhat cells and generalized minors.

Résumé : Cluster algebras come with a canonical partial basis : the cluster monomials. Extending this partial basis to a full basis has been one of the central problems in the theory giving raise to a varied zoo of constructions. In this talk we will explain how Lie theory can be used to relate them.

Specifically, after recalling the basic definitions, we will explain how any acyclic cluster algebra can be seen as the ring of coordinates of a suitable double Bruhat cell in the associated Kac-Moody group. Under this identification we will interpret cluster monomials as generalized minors —certain functions on a Kac-Moody group defined in terms of its representations— and explain how one can use generalized minors to extend cluster monomials to a continuous family of bases of the cluster algebra in the affine cases.

This talk is based on joint works with D. Rupel and H. Williams.

9 mai 2019
Emily Norton (Bonn) :
Vertices for Hecke and Cherednik algebras and the Dipper-Du Conjecture

Résumé : In the local representation theory of finite groups, a vertex of an indecomposable kG-module M is a minimal subgroup H such that M is isomorphic to a direct summand of a module induced from H. This definition can be adapted to the Hecke algebra of the symmetric group at a root of unity and its quasi-hereditary cover, the category O of the Cherednik algebra at a corresponding parameter. I will explain how studying the vertices of the latter module category leads to a new proof of the Dipper-Du Conjecture over C (previous proofs are due to Du and Whitley) classifying the vertices of the Hecke algebra.

16 mai 2019
Jérémie Guilhot (Tours) : Sur les conjectures de Lusztig dans les algèbres de Hecke (affines)
Résumé :

Travail en commun avec James Parkinson (Université de Sydney)

La théorie de Kazhdan-Lusztig pour les groupes de Weyl (affines) dans le cas des "paramètres égaux" est bien comprise grâce à une interprétation géométrique de certains objets. Cette interprétation permet notamment de montrer que les polynômes de Kazhdan-Lusztig sont à coefficients positifs. Dans le cas des paramètres inégaux, il n’y a plus d’interprétation géométrique et la positivité tombe en défaut même dans des exemples très simples. En s’inspirant du cas des paramètres égaux, Lusztig a formulé une série de conjectures qui capturent les propriétés essentielles des objets de cette théorie dans le cas des paramètres inégaux. Dans cet exposé, après avoir introduit ces conjectures, je présenterai quelques idées qui permettent de les prouver dans le cas des groupes de Weyl affines de rang 2.

23 mai 2019
Pierre-Guy Plamondon (Orsay) : Algèbres aimables : un invariant dérivé complet via un modèle géométrique
Résumé : Les algèbres aimables (en anglais « gentle algebras ») forment une classe d’algèbres associatives aux bonnes propriétés homologiques, particulièrement puisque cette classe est stable par équivalence dérivée. Elles apparaissent naturellement dans l’étude du basculement itéré, dans la catégorification des algèbres amassées et, plus récemment, dans l’étude des catégories de Fukaya de certaines surfaces avec bord.

La théorie des représentations des algèbres aimables s’étudie au moyen de mots sur leur carquois de Gabriel, qui eux-mêmes se traduisent par des courbes sur une certaine surface. C’est ce « modèle géométrique » que nous présenterons dans cet exposé. Nous verrons qu’il donne une description fine de la catégorie dérivée d’une algèbre aimable, qu’il mène à une classification de leurs objets basculants et bousculants, et qu’il permet la définition d’un invariant dérivé numérique complet pour les algèbres aimables. (Ces deux derniers résultats sont issus d’un travail en cours avec C.Amiot et S.Schroll).

6 juin Pas de séminaire : Conférence Méthodes catégoriques et homotopiques en théorie des représentations :

https://cathomrep.sciencesconf.org/

13 juin
Georges Neaime (Bielefeld) : Garside Structures for Euclidean Artin Groups.

Résumé : Garside structures were developed in order to better understand Artin groups and their generalizations. Finite-type Artin groups admit two types of Garside structures corresponding to their standard and dual presentations. Concerning Euclidean Artin groups, François Digne established Garside structures for two families of these groups by using their dual presentations. Recently, Jon McCammond established that none of the remaining dual presentations (except for one additional case) correspond to Garside structures. He and Robert Sulway also identified Euclidean Artin groups as subgroups of other Garside groups, thereby clarifying some of their properties. In this talk, shifting attention from dual presentations to other presentations for type \tildeA, I will construct standard Garside structures for this type of Euclidean Artin groups.

20 juin 2019
Jacques Thévenaz (Lausanne) : Foncteurs de correspondances simples et projectifs.
Résumé : Une correspondance entre deux ensembles finis est un sous-ensemble de leur produit direct. Les correspondances peuvent être composées et cela donne naissance à la catégorie des ensembles finis et correspondances. Un foncteur de correspondances est une représentation linéaire de cette catégorie. Les foncteurs de correspondances simples sont paramètrés par des triples (E,R,V) où E est un ensemble fini, R est une relation d’ordre sur E, et V est un module simple pour l’algèbre du groupe Aut(E,R). Nous décrirons pour quels triples (E,R,V) le foncteur simple associé est projectif. Le lien étroit avec la théorie des treillis sera aussi expliqué et exploité.
Il s’agit d’un travail commun avec Serge Bouc.

27 juin 2019
Juan González-Meneses (Séville) : Sous-groupes paraboliques des groupes d’Artin-Tits.
Résumé : (Avec Maria Cumplido, Volker Gebhardt et Bert Wiest.) Le complexe de courbes est un objet géométrique classique associé à une surface donnée. Le groupe modulaire de la surface (groupe d’automorphismes modulo déformation) agit sur le complexe de courbes par isométries, et ça permet de montrer des propriétés algébriques du groupe. Cela s’applique au cas particulier des groupes de tresses.

Les groupes d’Artin-Tits sont une généralisation algébrique naturelle des groupes de tresses. Ceux de type sphérique partagent beaucoup de propriétés avec les groupes de tresses, mais un tel groupe ne peut pas être vu, en général, comme le groupe modulaire d’une surface. Néanmoins, on verra qu’il existe un analogue algébrique du complexe du courbes, un espace géométrique sur lequel un groupe d’Artin-Tits de type sphérique agit par isométries : le complexe des sous-groupes paraboliques irréductibles.

Dans cet exposé on introduira cet objet, et on montrera que l’intersection de sous-groupes paraboliques est un sous-groupe parabolique (une vieille conjecture), et que ces sous-groupes forment un treillis par rapport à l’inclusion. On essaie de généraliser quelques propriétés des groupes de tresses à tous les groupes d’Artin-Tits de type sphérique, en utilisant leur action sur ces complexes.