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Séminaire Dynamique et Probabilités 2019-2020

par Clémence Labrousse - publié le

Le mardi de 14h00 à 15h00, salle BC101.

Organisateurs : Gabriel Vigny et Clémence Labrousse


Année 2019-2020


Lundi 8 Juin 2020 à 14H00
Vincent Pecastaing (University of Luxembourg ) en visioconférence
Actions de réseaux de rang supérieur sur des structures conformes et
projectives

Résumé : L’idée phare du programme de Zimmer est qu’en rang supérieur ou égal à 2, la rigidité des réseaux des groupes de Lie semi-simples est telle qu’on peut comprendre leurs actions sur des variétés compactes. Après un bref survol donnant une idée plus précise des conjectures de Zimmer et de leur contexte, je présenterai des résultats récents portant sur les actions conformes ou projectives de réseaux cocompacts. L’absence de forme volume naturelle invariante sur ces structures est l’une des motivations principales. On verra que le rang réel est borné comme lorsque le groupe de Lie ambiant agit, et qu’à la valeur critique, la variété est globalement équivalente à un espace homogène modèle. Les preuves s’appuient en outre sur un "principe d’invariance" introduit récemment par Brown, Rodriguez-Hertz et Wang, assurant l’existence de mesures finies invariantes dans certains contextes dynamiques.



Mardi 26 Mai 2020
Jérôme Casse (Dauphine et Paris-Sud Orsay ) en visioconférence
Percolation de dernier passage généralisée : étude sur le cylindre.

Résumé : La percolation de dernier passage dirigée est, classiquement, un modèle de croissance dans le quart de plan discret. Pour croitre de la case (i,j), il faut que les cases (i−1,j) et (i,j−1) soient présentes dans notre amas de croissance, puis attendre un temps aléatoire τ(i,j). Ce modèle est notamment intéressant pour modéliser le temps d’asséchement d’un terrain. Dans cet exposé, je présente une généralisation de la percolation de dernier passage dirigée dans le cas où le temps à attendre τ(i,j) dépend des temps d’arrivée des cases (i−1,j) et (i,j−1)dans l’amas et je présente ce modèle non pas comme un modèle de croissance dans le quart de plan, mais dans un cylindre de taille L. Dans le cylindre, il apparait ainsi une ligne de front pour notre amas. L’objet de cet exposé va être d’étudier deux propriétés asymptotiques (en temps) de cette ligne de front : sa vitesse et sa forme. Nous verrons que, dans des cas particuliers dits solubles ou intégrables, cette vitesse et cette forme ont une forme explicite en fonction des paramètres du modèle. Puis, j’expliquerai par quelle magie ces cas sont solubles, alors que les autres ne le sont a priori pas.



Mardi 19 Mai 2020
Charles Fougeron (IRIF - Université de Paris) en visioconférence
Dynamiques des systèmes simpliciaux et des algorithmes de fraction continue multidimensionnels.
Résumé :
Motivés par la richesse de l’algorithme de Gauss qui permet de calculer efficacement les meilleurs approximations d’un nombre réel par des rationnels, beaucoup de mathématiciens ont proposé des généralisations de ces algorithmes pour approcher des vecteurs de dimension supérieure à 1. Citons pour exemple l’algorithme de Poincaré introduit à la fin du 19e siècle ou ceux de Brun et Selmer à la moitié du 20e siècle. Depuis le début des années 90 à aujourd’hui il y a eu un certain nombre de travaux pour comprendre la convergence de ces algorithmes. Schweiger et Broise ont notamment démontré que les algorithmes de Selmer et Brun sont convergent et ergodiques. Mais, plus surprenant peut-être, Nogueira a démontré que l’algorithme proposé par Poincaré ne convergeait presque jamais. Dans mon exposé j’aborderai une nouvelle présentation combinatoire de ces algorithmes qui permet le passage d’un point de vu déterministe à une approche probabiliste pour ceux-ci. Dans ce modèle, prendre un vecteur aléatoire pour la mesure de Lebesgue correspond à suivre une marche aléatoire "avec mémoire" dans un graphe étiqueté nommé système simplicial. Les lois pour cette marche aléatoire sont élémentaires et nous pouvons développer des techniques probabilistes pour tudier leur comportement dynamique générique. Cela nous mènera à décrire un ritère purement de théorie des graphes pour montrer la convergence ou non d’un algorithme de fraction continue.

Mardi 12 Mai 2020
Jérôme Rousseau (Universidade do Porto) en visioconférence
La plus petite distance entre plusieurs orbites et le problème de la plus longue sous-chaîne commune
Résumé : Nous étudions le comportement de la plus petite distance entre plusieurs orbites et montrons que, sous certaines hypothèses de mélange, la décroissance de la plus petite distance dépend de la dimension fractale généralisée (ou dimension L^q). Nous étendrons aussi ces résultats aux systèmes dynamiques aléatoires.
Pour les processus stochastiques discrets, nous montrerons que le problème de la plus petite distance correspond à un problème bien connu : le problème de la plus longue sous-chaîne commune. Ainsi, pour des processus alpha-mélangeant avec une décroissance exponentielle, nous obtenons une relation entre la longueur de la plus longue sous-chaîne commune et l’entropie de Rényi généralisée.
Cet exposé comporte des résultats en collaboration avec Vanessa Barros, Adriana Coutinho, Rodrigo Lambert et Lingmin Liao.

Mardi 5 Mai 2020
Ilia Smilga (Institut de Mathématiques de Marseille) en visioconférence
Représentations milnoriennes et non-milnoriennes
Résumé : En 1977, Milnor a formulé la conjecture suivante : tout groupe discret de transformations affines agissant proprement sur l’espace affine est virtuellement résoluble. On sait maintenant que cet énoncé est faux ; l’objectif est à présent de mieux cerner les contre-exemples à cette conjecture. Chaque groupe qui viole cette conjecture "vit" dans un certain groupe affine algébrique, qu’on peut spécifier en donnant un groupe linéaire et une représentation de celui-ci. Les représentations qui donnent lieu à des contre-exemples sont alors appelées non-milnoriennes. Je vais parler des avancées obtenues dans la question de la classification de ces représentations non-milnoriennes.

Mardi 28 Avril 2020
Davide Giraudo (Université de Bochum) en visioconférence
Loi des logarithmes itérés bornée pour des champs aléatoires bernoulliens
Résumé : Considérons les champs aléatoires dits bernouilliens,
c’est-à-dire s’exprimant comme une fonction d’un champ aléatoire
indépendant et identiquement distribué. Nous allons fournir une
condition suffisante pour la loi des logarithmes itérés bornée pour la
sommation sur des rectangles de Z^d. Nous donnerons des applications
aux fonctions de champs linéaires et de champs aléatoires gaussiens.

Mardi 24 Mars 2020
Pas de séminaire.
Conférences et Ateliers dans le cadre de l’Année des Mathématiques

Mardi 17 Mars 2020
Journée Amiens-Calais de Dynamique et Probabilités
Dominique Schneider (LMPA, Calais) - 10h00-11h00
François Béguin (LAGA, Villetaneuse) - 11h10-12h10
Jasmin Raissy (Institut de Mathématiques de Toulouse) - 14h15-15h15
Laurent Niederman (Laboratoire de Mathématique d’Orsay) - 15h45-16h45
Programme détaillé

Mardi 10 Mars 2020
Anna Florio (Sorbonne Université)
Sur l’ensemble de points de torsion nulle des applications déviant la verticale de l’anneau
Résumé : Pour un difféomorphisme C^1 f:A->A isotope à l’identité, la torsion d’un point x est la limite de la vitesse angulaire moyenne des vecteurs tangents dans T_xA sous l’action du système dynamique linéarisé. Pour une application déviant la verticale (pas forcément conservative) nous montrons que toute courbe essentielle C^1 possède au moins un point de torsion nulle. Par conséquent, la dimension d’Hausdorff de l’ensemble des points de torsion nulle est au moins égale à 1. De plus, comme sous-produit de la preuve, nous retrouvons un théorème de type Birkhoff : toute courbe simple essentielle invariante de classe C^1, telle que la dynamique restreinte est sans points errants, est un graphe.


Mardi 3 Mars 2020
Zhuchao Ji (Sorbonne Université)
Non-uniform hyperbolicity in polynomial skew products
Résumé : The dynamics of Topological Collet-Eckmann rational maps on
Riemann sphere are well understood, due to the work of Przytycki,
Rivera-Letelier and Smirnov. In this talk we study the dynamics of
polynomial skew products of C^2 . Let f be a polynomial skew products with
an attracting invariant line L such that f restricted on L satisfies
Topological Collet-Eckmann condition and a Weak Regularity condition. We
show that the the Fatou set of f in the basin of L equals to the union of
the basins of attracting cycles, and the Julia set of f in the basin of L
has Lebesgue measure zero. As a consequence there are no wandering Fatou
components in the basin of L (We remark that for some polynomial skew
products with a parabolic invariant line L, there can exist a wandering
Fatou component in the basin of L).

Mardi 25 Février 2020
Vu Duc Viet (University of Cologne)
Points périodiques exotiques
Résumé : Soit X une variété compacte kählerienne et f un endomorphisme holomorphe de X vers X. On s’intéresse à déterminer un asymptotique pour le nombre P_n de points périodiques isolés de période n de f. On introduit la notion de points périodiques exotiques de f et on note P’_n le nombre des points periodiques exotiques de période n. J’expliquerai comment obtenir un asymptotique pour la somme (P_n+ P’_n).


Mardi 18 Février 2020
Relâche- Vacances d’hiver

Mardi 11 Février 2020
Yusuke Okuyama (Kyoto Institute of Technology)
Entropies of uniformly quasiregular dynamics
Résumé : Quasiregular (or say branched quasiconformal) mappings between equidimensional Riemannian manifolds (e.g., Riemann surfaces) are some natural generalization of (possibly branched) orientation preserving conformal mappings.
Moreover, a quasiregular selfmap on a Riemannian manifold is said to be uniformly quasiregular (UQR) if the distortions of all its iterates are uniformly bounded, and the dynamics of such UQR selfmaps are thought to be natural generalization of (1-dimensional) complex dynamics.
In this talk, we determine the topological entropy of a non-constant and non-injective UQR selfmap on a closed, and connected Riemannian manifolds having no boundary, unless it is a (co)homological sphere, generalizing Lyubich’s and Gromov’s computation in complex dynamics. This talk is based on our joint work with Ilmari Kangasniemi, Pekka Pannka (both Helsinki), and Tuomas Sahlsten (Manchester).

Mardi 4 Février 2020
Colloquium à 16h00

Mardi 28 Janvier 2020
Martin Leguil (Université Paris-Sud)
Détermination spectrale des billards dispersifs ouverts
Résumé :Dans un projet en collaboration avec P. Bálint, J. De Simoi et V. Kaloshin, nous avons étudié le problème spectral inverse pour une classe de billards dispersifs obtenus en ôtant du plan un nombre fini d’obstacles lisses strictement convexes satisfaisant une condition de non-éclipse. La restriction de la dynamique à l’ensemble des orbites qui ne s’échappent pas à l’infini est conjuguée à un sous-décalage de type fini, ce qui permet d’étiqueter de manière naturelle les orbites périodiques. Nous montrons que le Spectre Marqué des Longueurs détermine les courbures des différents obstacles aux points associés à des orbites de période deux, ainsi que l’ensemble des exposants de Lyapounoff des orbites périodiques. De plus, nous montrons que de manière générique, dans le cas de billards dont le bord est analytique et qui satisfont deux hypothèses de symétrie, il est possible de reconstituer complètement la géométrie à l’aide des données purement dynamiques encodées dans le Spectre Marqué des Longueurs.

Mardi 21 Janvier 2020
Laurent Bartholdi (ENS Paris)
Actions et relations automatiques
Résumé : Certains systèmes dynamiques, dits « sofiques », peuvent s’encoder naturellement au moyen d’automates : on écrit le système comme quotient d’un sous-décalage de type fini par une relation produite par un automate.
En contrepartie, certains (semi)groupes, dits « automatiques » ou « d’automates », agissent sur un sous-décalage au moyen de transformations dont le graphe est produit par un automate.
Une théorie de dualité, très riche, relie ces deux notions. Je la présenterai dans quelques exemples particulièrement intéressants, tant venant de la théorie des groupes (groupe de Grigorchuk, additionneur en base non-entière) que des systèmes dynamiques (sous-décalage de Thue-Morse, de Fibonacci, transformation d’Anosov du tore).


Mardi 14 Janvier 2020
Anna Ben Hamou (Sorbonne-Université)
Temps de mélange de marches aléatoires sur des graphes aléatoires
Résumé : Le temps de mélange d’une marche aléatoire sur un graphe est étroitement lié à l’existence de « goulots d’étranglement » dans le graphe : intuitivement, plus il est difficile pour la marche de s’échapper de certains sous-ensembles, plus la marche met du temps à mélanger. Plusieurs résultats montrent que, sur des graphes aléatoires qui sont presque sûrement des expanseurs et donc n’ont typiquement pas de goulots d’étranglement (par exemple, sur des graphes réguliers uniformes), la marche aléatoire mélange non seulement vite mais de façon très abrupte (on dit qu’elle présente le phénomène de cutoff). Dans cet exposé, nous verrons que l’on peut aussi des choses sur des graphes aléatoires qui ne sont pas des expanseurs. Nous considérerons des graphes qui possèdent une bisection des sommets telle que la densité d’arêtes est plus élevée au sein des blocs qu’entre les blocs et montrerons qu’il existe un seuil précis pour la fraction d’arêtes inter-blocs autour duquel la marche bascule d’un régime de mélange rapide avec cutoff à un régime de mélange lent sans cutoff.

Mardi 7 Janvier 2020
Sylvain Crovisier (Orsay - CNRS)
Dynamiques minimales uniquement ergodiques sur les surfaces.
Résumé : Mary Rees a montré l’existence d’homémorphismes du tore ayant une dynamique minimale et d’entropie topologique non nulle. Je présenterai un travail obtenu en collaboration avec François Béguin et Frédéric Le Roux qui reprend cette construction et permet de construire de nombreux exemples d’homémorphismes minimaux sur les surfaces : nous pouvons par exemple obtenir l’unique ergodicité et réaliser n’importe quelle dynamique mesurable qui est une extension d’une rotation irrationnelle.

Mardi 10 Décembre 2019
Martin Leguil (Université Paris-Sud)
reporté au 28 Janvier


Mardi 3 Décembre 2019
Gauthier Delvoye (LAMFA)
Extension du modèle de Wright-Fisher aux métacommunautés.
Résumé : Nous présenterons le modèle de Wright-Fisher, utilisé en écologie des communautés.
La limite du modèle en grande population vers une diffusion sera abordée, nous permettant de déterminer explicitement le temps d’extinction moyen d’une espèce.
Nous étendrons par la suite ce modèle aux métacommunautés via une méthode de pas fractionnaire incorporant la migration des individus entre les différents patchs. Nous conclurons par un résultant démontrant l’effet positif de la migration pour la préservation de la biodiversité.


Mardi 26 Novembre 2019
Matthieu Astorg (Université d’Orléans)
Domaines errants et applications de Lavaurs elliptiques
Résumé : Dans un article de 2016 avec X. Buff, R. Dujardin, H. Peters et J. Raissy, les premiers exemples d’applications polynomiales F de C^2 avec un domaine errant ont été construits. La dynamique de F est contrôlée par un système dynamique renormalisé, l’application de Lavaurs L ; il a été montré que si L a un point fixe attractif, alors F a un domaine errant. Dans cet exposé, nous étudierons la situation quand L a un point fixe neutre linéarisable. On obtiendra notamment une condition nécessaire et suffisante pour l’existence de domaines errants dans cette situation. De plus, on présentera une preuve légèrement simplifiée du théorème de 2016.


Mardi 19 Novembre 2019
Sebastian Barbieri (ENS Lyon)
On the relation between topological entropy and asymptotic pairs
Résumé : I will present some results that state that under given topological conditions, any group action with positive topological entropy admits off-diagonal asymptotic pairs. I shall explain the latest results on this topic and present a new approach, inspired from thermodynamical formalism and developed in collaboration with Felipe García-Ramos and Hanfeng Li, which unifies all previous results and yields new classes of algebraic actions for which positive entropy ensures the existence of off-diagonal asymptotic pairs.


Mardi 12 Novembre 2019
Abel Farkas (Alfréd Rényi Institute of Mathematics (Budapest))
Random measures on the Brownian path with prescribed expectation
Résumé : Let B denote the range of the Brownian motion in R^d. For a deterministic Borel a measure nu we wish to find a random measure mu such that the support of mu is contained in B and the expectation of mu is nu. We discuss when exactly can there be such a random measure and construct in those cases. We establish a formula for the expectation of the double integral with respect to mu, which is a strong tool for the geometric measure theory of the Brownian path.

Horaire exceptionnel : exposé à 16h00


Mardi 5 Novembre 2019
Pablo Rotondo (LITIS (Rouen))
Récurrence des mots Sturmiens : le cas des mots Sturmiens substitutifs.
Résumé : En combinatoire des mots, la fonction de récurrence peut être vue comme le temps d’attente nécessaire pour découvrir tous les facteurs du mot de taille donnée $n$. Elle est donc liée à la complexité du mot, égale au cardinal des facteurs de longueur $n$. Les mots Sturmiens sont fondamentaux en combinatoire des mots, car ce sont les mots non périodiques de plus basse complexité. Les mots Sturmiens substitutifs, construits par substitution de lettre, forment une sous classe particulièrement intéressante des mots Sturmiens. Il est donc naturel d’étudier, de manière probabiliste, la fonction de récurrence sur ces mots. Nous exhibons des fortes similarités entre la distribution limite de la récurrence dans le cas générique et substitutif. (Travail commun avec Brigitte Vallée)


Mardi 29 Octobre 2019
Relaxe - Vacances de la Toussaint


Mardi 22 Octobre 2019
Relaxe - Vacances de la Toussaint


Mardi 15 Octobre 2019
Etienne Moutot (ENS Lyon)
Algebra, Tilings and Nivat
Résumé : A quel point peut-on créer des structures complexes à l’aide de motifs élémentaires ?
La conjecture de Nivat dit que toute configuration (coloration de la grille Z^2) de faible complexité (le nombre de motifs qui y apparaissent est "faible")
est nécessairement périodique. Autrement dit, il est impossible des créer des configuration "complexes" (non périodiques) à l’aide d’un petit nombre de motifs de base.
En 2015, Michal Szabados et Jarkko Kari ont publié leur premier article
utilisant une approche algébrique pour s’attaquer à cette conjecture.
Leur idée est de représenter une configuration comme une série formelle,
et en étudiant certaines structures qui lui sont liées (tels que des
idéaux polynomiaux bien choisis). Ce faisant, ils parviennent à exploiter plusieurs théorèmes d’algèbre pour s’approcher de la conjecture de Nivat sous des angles nouveaux.
Dans cet exposé, je présenterai les travaux que j’ai effectué avec Jarkko
Kari dans le continuation de la thèse de Michal Szabados. Je parlerais
de nouveaux théorèmes utilisant ces outils algébriques pour se rapprocher encore une fois de la conjecture de Nivat.
Une des conséquences de ces résultats est que le problème du domino est décidable pour les sous-shifts de faible complexité. Ce problème est indécidable de manière générale, et si la conjecture de Nivat est vraie, il serait décidable de manière évidente. Un des intérêt de notre résultat est qu’il permet de prouver cette décidabilité, sans pour autant avoir besoin de la conjecture de Nivat, seulement une version affaiblie.


Mardi 8 Octobre 2019
Sebastien Biebler (Institut de Mathématiques de Jussieu-Paris-Rive-Gauche)
Automorphismes polynomiaux de C^2 avec composante de Fatou errante et grande émergence
Résumé : Nous montrons qu’il existe un ensemble localement dense d’automorphismes polynomiaux réels de C^2 ayant une composante de Fatou errante. La preuve est fondée sur un modèle géométrique qui nous permet de prouver l’existence d’un domaine errant pour un sous-ensemble dense de paramètres dans un ouvert dense de familles de C^r-difféomorphismes dans le domaine de Newhouse. Nous étudions aussi le comportement statistique des orbites dans ce domaine errant et nous donnons une solution au dernier problème de Takens dans le cas C^\infty, ce qui permet de compléter les travaux de Kiriki et Soma. Finalement, je présenterai le concept d’émergence dû à Berger et je montrerai que l’émergence est stretched-exponential dans notre cas.
Ce travail est en collaboration avec Pierre Berger.


Mardi 1er Octobre 2019
Fabrizio Bianchi (Laboratoire Paul Painlevé (Lille), CNRS)
Degeneration of quadratic endomorphisms of P^2 (C) towards a Hénon map
Résumé : The family H of all quadratic endomorphisms of P^2 (C) is canonically identified with the complement of a hypersurface in P^17 (C). The Hénon maps naturally live in this hypersurface.
In this joint work with Yusuke Okuyama (Kyoto) we prove that every Hénon map can be accumulated by endomorphisms of P^2 belonging to the bifurcation locus of the family H. We also precisely describe the asymptotic behaviour of the Lyapunov exponents as the endomorphisms degenerate towards a Hénon map. This answers questions by Favre and Taflin.


Mardi 24 Septembre 2019
Thomas Gauthier (École Polytechnique)
Arithmétiques des paires dynamiques polynomiales
Résumé : Soit (P_t)_t\in C une famille algébrique de polynômes complexes de degré d>1 paramétrée par une courbe affine C et soient $a,b:C->C deux points marqués.
Supposons qu’il existe une infinité de paramètres t dans C tels que a(t) et b(t) sont simultanément prépériodiques pour P_t.
Baker et DeMarco ont conjecturé que, dans cette situation, il existe une relation dynamique qui persiste dans toute la famille entre les orbites (P_t^n(a(t))_n>=1 et (P_t^n(b(t)))_n>=1.
Dans le cas particulier où P_t(z)=z^2+t avec t dans C et a,b dans C sont constantes, ils ont montré que cela impliquait a^2=b^2.
Le but de cet exposé est de présenter un travail en commun avec Charles Favre, dans lequel nous montrons cette conjecture lorsque la courbe est définie sur un corps de nombre.
La preuve suit les grandes lignes de la stratégie établie par Baker et DeMarco. Néanmoins, toutes les étapes nécessitent un apport substantiel. Les deux nouveaux ingrédients principaux sont :

  • un résultat de rigidité à propos des points marqués ayant un lieu de bifurcation réel-analytique,
  • un résultat de continuité concernant une métrisation adélique d’un fibré en droites ample sur la courbe C.

Mardi 17 Septembre 2019
Silvère Gangloff (ENS Lyon)
Sur les frontières du calculable en mécanique quantique et statistique
Résumé : Dans cet exposé, partant de motivations en dynamique symbolique sur la frontière entre le calculable et l’incalculable, je donnerai un point de vue sur les méthodes de calcul exact en mécanique quantique et statistique, développées depuis le milieu du XXème siècle et le calcul exact de l’énergie libre du modèle d’Ising par L. Onsager en 1944. Je me concentrerai sur le calcul de l’entropie et distinguerai les méthodes de calcul rigoureuses (par exemple les dimères, ou la glace carrée) des méthodes qui restent non rigoureuses (par exemple les hexagones durs ou le modèle à huit sommets), en essayant de pointer du doigt les obstacles à la rigueur mathématique, et en explicitant les principaux outils intervenant dans la récente preuve complète de l’entropie du modèle.