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Séminaires Théorie des Groupes 2020-2021

by Etienne Piskorski - published on , updated on

24 septembre 2020
David Chataur (Amiens) : Topos supérieurs, cohomologies et algèbre homotopique

Résumé : L’exposé aura lieu en ligne, sur Zoom.

Un topos de Grothendieck est une catégorie équivalente à une catégorie de faisceaux d’ensembles sur un site de Grothendieck. Les topos sont pertinents pour étudier des théories cohomologiques comme la cohomologie étale des schémas par exemple.
Les topos supérieurs permettent de traiter de la théorie de l’homotopie sur un site de Grothendieck.
On montrera comment la théorie de l’homotopie des espaces topologiques peut être revisitée à l’aide de ce formalisme (suivant des travaux de D. Dugger et D. Isaksen).
Cette approche s’applique au cadre des variétés algébriques et donne des modèles pour l’homotopie motivique (toujours d’après D. Dugger et D. Isaksen).
On expliquera que cette approche s’adapte aux espaces stratifiés et donne un cadre naturel pour étudier la cohomologie d’intersection d’un point de vue homotopique. En particulier on montrera comment des résultats récents sur la représentabilité de la cohomologie d’intersection en termes d’espaces de lacets infinis stratifiés (obtenus en collaboration avec D. Tanré) s’insère dans ce paysage.

1er octobre 2020
Ivan Marin (Amiens) : Variables Aléatoires Simpliciales

Résumé : L’exposé aura lieu dans la salle séminaire et sera retransmis via RENATER.

Les théories simpliciales d’homotopie ramènent l’étude des espaces topologiques à l’étude de structures combinatoires, ensuite épaissies par des simplexes : c’est ce qu’on appelle leur réalisation géométrique. Considérant, par description barycentrique, un simplexe de dimension n comme l’espace des mesures de probabilité sur un espace à n éléments, on est naturellement amené à introduire l’espace de variables aléatoires discrètes correspondant, et à l’utiliser en remplacement des simplexes pour fournir une nouvelle réalisation géométrique. L’application qui à une variable aléatoire associe sa loi de probabilité fournit un lien naturel entre les deux constructions, que nous décrirons dans les trois cadres usuels : celui des complexes simpliciaux, celui des ensembles simpliciaux, et celui des ensembles pré-simpliciaux. Cela permet notamment d’obtenir une description topologique simple et naturelle de l’espace classificant d’un groupe discret.

8 octobre 2020
Peter Webb (Minneapolis) : The parametrization of simple biset functors for categories.

Résumé : L’exposé aura lieu en ligne, sur Zoom.

Generalizing from finite groups to finite categories, a biset category may be contructed whose objects are the finite categories and whose morphisms are linear combinations of bisets (known also as distributors, and as profunctors) for these categories. The linear functors to the category of abelian groups are then biset functors, defined on finite categories in general, not just finite groups. We discuss how the parametrization of simple biset functors becomes more complicated when the groups are allowed to be categories. For groups, the simple biset functors S are parametrized by pairs (H,V) where H is a group and V is a simple module for Out(H). The parametrization has the property that H is a minimal group on which S is non-zero, and there is a unique such group H, up to isomorphism. The parametrization is aided by the fact that groups are isomorphic in the biset category, if and only if they are isomorphic as groups, as well as other things: the decomposition of bisets, due to Bouc, as a composite of standard bisets; and the fact that ’essential algebra’ of a group H in the biset category is a copy of the group ring of Out(H). We discuss the way these properties fail in the context of bisets for categories. Even before we discuss this failure, we must formulate what we mean by things such as the outer automorphism group of a category, the essential algebra, and a standard biset. Along the way we discover some unexpected structure.

15 octobre 2020
Nadia Romero (Guanajuato) : Deflation and tensor induction on the Frobenius-Wielandt morphism.

Résumé : L’exposé aura lieu en ligne, sur Zoom.

In 1992, Dress, Siebeneicher and Yoshida introduced the Frobenius-Wielandt morphism (FW morphism), defined from the Burnside ring of a cyclic group C to the Burnside ring of a finite group G of order |C|. Their intention was to give a precise conceptual interpretation of the observation that many elementary group-theoretic results can be derived from the fact that various invariants of an arbitrary group are closely related to the same invariant evaluated for the cyclic group C. Among other properties, they investigated the relation of the FW morphism with the operations of restriction, induction, inflation and fixed points. In this talk we will see what can we say about its relation with tensor induction and deflation and, while doing this, we will see its relation with induction from a different perspective.

5 novembre 2020
Ergün Yalçın (Bilkent) : The Dade group of a finite group and dimension functions.

Résumé : L’exposé aura lieu en ligne, sur Zoom.

Pour lire le résumé, veuillez cliquer ici

19 novembre 2020
Paolo Bellingeri (Caen) : Autour des représentations linéaires des groupes de tresses de cercles.

Résumé: L’exposé aura lieu en ligne, sur Zoom.

Dans cet exposé nous allons rappeler la procédure de Long et Moody pour construire des représentations linéaires des groupes de tresses et nous allons l’adapter au cas des groupes des tresses de cercles (ou w-tresses). Ce sera l’occasion à la fois de présenter les groupes de tresses de cercles et leurs différentes définitions et de revenir sur des représentations des groupes de tresses, célèbres (Burau, BKL...) ou peu connues (TYM), et des problèmes qu’on rencontre quand on cherche de les étendre à d’autres groupes dans lesquels les groupes de tresses se plongent « canoniquement ».

26 novembre 2020
Cécile Mammez (Lille) : Algebraic structures on walks of graphs.

Résumé: L’exposé aura lieu en ligne, sur Zoom.

Pour lire le résumé, veuillez cliquer ici

3 décembre 2020
Danica Kosanovic (Paris) : Knot invariants from homotopy theory.

Résumé : L’exposé aura lieu en ligne, sur Zoom.

Embedding calculus of Goodwillie and Weiss is a certain homotopy theoretic technique for studying spaces of embeddings. When applied to the space of knots this method gives a sequence of knot invariants which are conjectured to be universal Vassiliev invariants. This is remarkable since such invariants have been constructed only rationally so far and many questions about possible torsion remain open. In this talk I will present some explicit computations and outline why these knot invariants are surjections. This confirms one half of the universality conjecture, and confirms it rationally, and p-adically in a range. We also prove some missing cases of the Goodwillie—Klein connectivity estimates.

10 décembre 2020
Serge Bouc (Amiens) : Extensions de foncteurs de bi-ensembles simples.

Résumé : L’exposé aura lieu en ligne, sur Zoom.

Les foncteurs de bi-ensembles simples sur un corps F sont paramétrés par les couples (H,W), où H est un groupe fini, et W une représentation simple sur F du groupe d’automorphismes extérieurs de H. Lorsque F est un corps de caractéristique 0, je décrirai certaines conséquences sur la structure de G et H résultant de l’existence d’une extension non-scindée entre des simples paramétrés par (G,V) et (H,W). Je décrirai aussi toutes les extensions du foncteur simple paramétré par (1,F) (isomorphe au foncteur des représentations rationnelles à coefficients dans F) par un foncteur simple arbitraire. Je montrerai comment des résultats similaires peuvent être établis lorsque F est un corps de caractéristique 2 pour les foncteurs restreints aux groupes d’ordre impair.

14 janvier 2021
Olivier Brunat (Paris) : Sur l’unitriangularité des matrices de décomposition des groupes finis.

Résumé : L’exposé aura lieu en ligne, sur Zoom.

21 janvier 2021
Thomas Lanard (Vienne) : Sur les l-blocs unipotents des groupes p-adiques simplement connexes.

Résumé : L’exposé aura lieu en ligne, sur Zoom.

Dans cet exposé, nous nous intéressons à la catégorie des représentations lisses d’un groupe p-adique. Une problème naturel est alors de la décomposer en un produit de sous-catégories indécomposables, appelées blocs. Lorsque les représentations sont à coefficients complexes, le théorème de décomposition de Bernstein nous fournit le résultat. Toutefois, lorsque l’anneau des coefficients est $\overline\mathbb Z_\ell$, la décomposition en blocs reste mystérieuse. Nous introduirons, pour un groupe réductif fini, la notion de (d,1)-séries. Ces dernières, définies à partir de la théorie de Harish-Chandra et de Deligne-Lusztig, forment une partition des représentations irréductibles. De plus, elles nous permettront d’obtenir la décomposition en l-blocs de la catégorie unipotente d’un groupe p-adique simplement connexe.

28 janvier 2021
Yann Palu (Amiens) : Correspondance de Hovey pour les catégories de fibrations.

Résumé : L’exposé aura lieu en ligne, sur Zoom.

Ceci est un travail en cours, en collaboration avec Gustavo Jasso, Sondre Kvamme et Tashi Walde.
La correspondance de Hovey permet de construire des structures de modèles sur des catégories abéliennes, ou sur leurs catégories de complexes, à partir d’une simple donnée algébrique. Les catégories homotopiques apparaissant dans la nature (mathématique), par exemple la KK-théorie, ne proviennent pas toujours de catégories de modèles. Ce phénomène est l’une des motivations pour introduire la notion de catégorie de fibrations. Nous montrons une correspondance du type correspondance de Hovey pour les structures de catégorie de fibrations sur les catégories exactes. En application, nous retrouvons des structures triangulées sur certaines catégories quotients apparaissant en théorie des représentations.
Le cadre dans lequel nous travaillons est celui des infinies-catégories exactes. Si le temps le permet, je dirai quelques mots à ce sujet.

11 février 2021
Sondre Kvamme (Uppsala) : Les foncteurs admissibles de présentation finie d’une catégorie exacte.

Résumé : L’exposé aura lieu en ligne, sur Zoom.

Dans cet exposé on va introduire les foncteurs admissibles de présentation finie mod_adm(E) pour une catégorie exacte E. En particulier, on caractérise les
catégories exactes de la forme mod_adm(E), et on démontre qu’elles ont des propriétés similaires aux catégories des modules d’une algèbre d’Auslander. Pour une catégorie additive idempotents-complète, on utilise aussi cette construction pour démontrer que les structures exactes sur C correspondent à certaines sous-catégories résolvantes dans mod(C). Ceci est un travail en collaboration avec Ruben Henrard et Adam-Christiaan van Roosmalen.

18 février 2021
Alexander Zimmermann (Amiens) : Lemme de Higman et correspondance de Green pour des paires de foncteurs adjoints entre catégories triangulées.

Résumé : L’exposé aura lieu en ligne, sur Zoom.
Les concepts de vortex et source d’un module indécomposable sont fondamentaux pour la théorie modulaire des représentations de groupes. Les résultats clefs sont le lemme de Higman et la correspondance de Green. Pour cette dernière Carlson, Peng et Wheeler ont montré qu’elle est la restriction d’une paire de foncteurs adjoints entre certains catégories triangulées à certaines sous-catégories additives. Puis, Auslander et Kleiner ont élargi le cadre de correspondance de Green aux paires de foncteurs adjoints entre catégories additives. Dans cet exposé je vais étudier les concepts de vortex, projectivité relative à un sous-groupe, et correspondance de Green au cadre de paires adjointes de foncteurs entre catégories triangulées.

4 mars 2021
Nadia Mazza (Lancaster) : Les foncteurs de Mackey pour les groupes profinis.

Résumé : L’exposé aura lieu en ligne, sur Zoom.
Les foncteurs de Mackey ont suscité beaucoup d’intérêt en théorie des groupes finis en particulier. Dans cet exposé, nous allons présenter la notion de foncteur de Mackey pour un groupe profini en nous basant sur des travaux de Blei-Boltje, de Dress-Siebeneicher et de Nakaoka, et discuter de quelques aspects intrigants de ces foncteurs.

11 mars 2021
Alexandre Afgoustidis (Paris) : Sur la géométrie de l’espace des représentations tempérées des groupes classiques p-adiques (travail commun avec Anne-Marie Aubert).

Résumé : L’exposé aura lieu en ligne, sur Zoom.

Soit G un groupe réductif réel ou p-adique. Un objet important de la théorie des représentations de G est le « dual tempéré » de G — l’ensemble des classes d’équivalence de représentations irréductibles tempérées de G. Ce dual tempéré est naturellement muni d’une topologie. Pour la décrire, la stratégie la plus classique est de passer par l’étude de la C*-algèbre réduite. Les composantes connexes du dual tempéré apparaissent comme les spectres de certains « blocs » de cette C*-algèbre.
Pour les groupes réductifs réels, A. Wassermann a montré en 1987 que ces blocs ont tous, à Morita-équivalence près, une structure très belle et très simple qui encode les phénomènes de réductibilité des représentations induites. Ce résultat lui permit de vérifier la conjecture de Baum-Connes-Kasparov pour les groupes réductifs réels, et révéla l’existence d’une structure géométrique très simple pour chaque composante connexe du dual tempéré.
Pour les groupes p-adiques, l’existence d’une structure analogue ne va pas du tout de soi. Elle a été établie, pour certains exemples de blocs simples de groupes simples, par R. Plymen et ses étudiants. Je présenterai un travail avec Anne-Marie Aubert qui (1) donne une condition nécessaire et suffisante, en termes des R-groupes de Knapp-Stein-Silberger, pour l’existence d’un théorème de structure « à la Wassermann », et (2) détermine explicitement les composantes qui vérifient cette condition pour les groupes symplectiques, orthogonaux ou unitaires sur un corps p-adique.

18 mars 2021
Baptiste Rognerud (Paris) : Propriété Calabi-Yau fractionnaire des ensembles ordonnés de Tamari.

Résumé : L’exposé aura lieu en ligne, sur Zoom.

Les ensembles ordonnés de Tamari possèdent une symétrie cachée : leur catégorie dérivée est Calabi-Yau fractionnaire, c’est-à-dire qu’une certaine puissance du foncteur de Serre est isomorphe à un foncteur de décalage. La première démonstration de ce résultat repose sur l’existence d’une famille d’objets indécomposables sur laquelle on comprend bien l’action du foncteur de Serre. Cette famille est très jolie, mais sa construction est assez technique, elle se base sur trois objets combinatoires : les arbres non-croisés, les `intervalle-posets’ de Châtel et Pons et les intervalles exceptionnels dans les ensembles ordonnés de Tamari.

Dans cet exposé, je vais présenter les premières étapes d’une nouvelle démonstration qui se basera sur la théorie des représentations des algèbres de carquois. Cela devrait donner une démonstration plus conceptuelle qui se généralisera à d’autres familles d’ensembles ordonnés.

25 mars
Noémie Combe (Leipzig) : Complement of the discriminant variety, Gauss–skizze operads and hidden symmetries.

Résumé : L’exposé aura lieu en ligne, sur Zoom.

In this talk, the configuration space of marked points on the complex plane is considered. We investigate a decomposition of this space by so-called Gauss-skizze i.e. a class of graphs being forests. These Gauss-skizze, reminiscent of Grothendieck’s dessins d’enfant, provide a totally different real geometric insight on this complex configuration space, which under the light of classical complex geometry tools, remains invisible. Topologically speaking, this stratification is shown to be a Goresky–MacPherson stratification.
We prove that for Gauss-skizze, classical tools from deformation theory, ruled by a Maurer—Cartan equation can be used only locally.
We show as well, that the deformation of the Gauss-skizze is governed by a Hamilton—Jacobi differential equation.
Finally, a Gauss-skizze operad is introduced which can be seen as an enriched Fulton—MacPherson operad, topologically equivalent to the little 2-disc operad.
The combinatorial flavour of this tool allows not only a new interpretation of the moduli space of genus 0 curves with n marked points, but gives a very geometric understanding of the Grothendieck—Teichmuller group.

1er avril 2021
Benjamin Sambale (Hanovre) : Exposé reporté au 20 mai 2021.

8 avril 2021
Oliver Bräunling (Freiburg) : The origins of Tate categories.

Résumé : L’exposé aura lieu en ligne, sur Zoom.

I will talk about alternative viewpoints on "local compactness". Many examples motivate contemplating this concept further.

For example, there is a proof of Riemann-Roch for algebraic curves over a finite field F_q using Poisson summation on the adèles. The underlying Haar measure only exists if the adèles are locally compact. This is true if (and only if) the base field is finite.

But Riemann-Roch works over all fields. Can this proof be generalized to all fields?

Or, in 1968, Tate gave a coordinate-independent definition of the residue of a 1-form on algebraic curves. To avoid coordinates, he uses a locally linearly compact topology. Beilinson generalized this to all dimensions, but the topology gets replaced by a more involved concept (essentially iterated Tate categories).

This suggests to analyse more deeply how local compactness enters into these constructions and how this can be generalized. I will give a vaguely historical introduction to this circle of ideas and some recent developments.

15 avril 2021
Arthur Garnier (Amiens) : Tores hyperboliques pour les groupes de Coxeter non cristallographiques.

Résumé : L’exposé aura lieu en ligne, sur Zoom.

Dans cet exposé, motivé par l’étude de triangulations équivariantes des tores maximaux des groupes de Lie, par rapport à l’action du groupe de Weyl, on s’intéresse au cas général des groupes de Coxeter finis et l’on définit, pour ces groupes, des variétés qui jouent le rôle de tores.

Dans un premier temps, nous verrons comment construire explicitement une triangulation équivariante d’un tore maximal d’un groupe de Lie compact. Nous utilisons naturellement le vocabulaire des données radicielles et l’alcôve fondamentale (ou une subdivision) pour y parvenir.

La combinatoire obtenue a un sens pour tout groupe de Coxeter fini irréductible ; il est donc naturel de se demander s’il s’agit d’une information géométrique.

Dans un second temps, on définit des extensions des groupes non cristallographiques, qui jouent le rôle de groupe affine, mais qui sont en réalité hyperboliques compacts. En considérant un sous-groupe convenable de l’extension, on construit une variété compacte hyperbolique et une triangulation donnant le complexe souhaité, qui prolonge le cas des groupes de Weyl.

Nous terminerons en donnant quelques propriétés de ces variétés et notamment leur représentation d’homologie.

20 mai 2021
Benjamin Sambale (Hanovre) : Generalized bases of finite groups.

Résumé : L’exposé aura lieu en ligne, sur Zoom.

An important task in computational group theory is the construction of small bases of finite permutation groups. Halasi and Maróti have shown that under favorable conditions there always exists a base of size 3. In my talk I will introduce a generalized base for every abstract finite group without the presence of a group action. These bases are instead attached to a prime p. Building on Halasi-Maroti’s result, I showed that every p-solvable group has such a generalized base of size 3. I will also put forward a new conjecture on the existence of small generalized bases.

27 mai 2021
Georges Neaime (Bielefeld) : Groupes d’intervalles associés aux groupes de Coxeter finis.

Résumé : L’exposé aura lieu en ligne, sur Zoom.

Dans le cadre de la théorie duale des groupes de Coxeter, nous étudions les groupes d’intervalles associés aux éléments de quasi-Coxeter dans un groupe de Coxeter fini. Nous identifions si ces groupes d’intervalles sont des groupes de Garside. Nous établissons aussi des présentations de ces groupes en utilisant les diagrammes de Carter admissibles. Cela nous permet d’obtenir de nouvelles présentations de certains groupes d’Artin et d’identifier les groupes d’intervalles qui sont isomorphes aux groupes d’Artin associés.


17 juin 2021
Jin Zhang (Lanzhou/Amiens) : Complexes with the derived double centraliser property.

Résumé : L’exposé aura lieu en ligne, sur Zoom.

In representation theory, double centraliser property is an important property for a module (bimodule), it plays a fundamental role in many theories. In this paper, we further introduce this property to complexes in derived categories of finite dimensional algebras, we called derived double centraliser property. Characterizations for complexes with the derived double centraliser property in derived categories of hereditary algebras are given. In particular, all complexes with such property in derived categories of upper triangular matrix algebras are classified.