Page personnelle de Arthur Garnier Professeur de Mathématiques Appliquées en CPGE ECG1 (Lycée Jean Calvin, Noyon) et Chercheur associé au LAMFA (Université d'Amiens)

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Actuellement enseignant en Mathématiques Appliquées et enseignant référent en première année de CPGE ECG au lycée Calvin de Noyon, je suis également chercheur associé au LAMFA, où j'ai soutenu ma thèse en 2021.
Vous trouverez ici mes différents travaux de recherche, mémoires d'étudiant, ainsi que quelques travaux récréatifs non publiés.

Description de mes travaux

Mes recherches portent sur la topologie algébrique équivariante et, plus particulièrement sur la construction de décompositions cellulaires, équivariantes pour l'action de groupes discrets.

L'intérêt de telles structures est de relever à la catégorie dérivée des informations cohomologiques : plus précisément, si un groupe \(G\) agit sur un espace topologique \(X\), alors la cohomologie singulière \(H^*(X;\mathbb{Z})\) fournit une représentation (entière) de \(G\).
On peut définir la cohomologie singulière comme la cohomologie du foncteur dérivé \(R\Gamma(X;\underline{\mathbb{Z}})\) des sections globales appliqué au faisceau constant. Ce complexe \(R\Gamma(X;\underline{\mathbb{Z}})\) est un complexe de \(\mathbb{Z}[G]\)-modules, que l'on peut voir dans la catégorie dérivée \(D^b(\mathbb{Z}[G])\) des \(\mathbb{Z}[G]\)-modules.
Cette information est plus riche et précise que la seule cohomologie, mais ce complexe est incalculable en général.

Cependant, une structure cellulaire \(G\)-équivariante fournit, comme toute structure cellulaire, un complexe de chaînes cellulaires qui, de par le caractère équivariant de la structure, est en fait un complexe de \(\mathbb{Z}[G]\)-modules, isomorphe à \(R\Gamma(X;\underline{\mathbb{Z}})\) dans \(D^b(\mathbb{Z}[G])\).
De plus, un tel complexe est «homotopiquement canonique», en ce sens que deux CW-structures équivariantes quelconques donnent deux complexes de chaînes cellulaires isomorphes dans la catégorie homotopique des \(\mathbb{Z}[G]\)-modules.
On obtient donc un modèle combinatoire explicite pour \(R\Gamma(X;\underline{\mathbb{Z}})\).

Pour plus de détails sur ces questions, l'internaute pourra consulter la première partie de ma thèse.

Les espaces qui m'intéressent plus particulièrement apparaissent en théorie de Lie et sont munis d'une action du groupe de Weyl (tores maximaux, variétés de drapeaux, etc).

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