Théorie de Galois




La théorie de Galois, inventée au 19ième siècle et d'ordinaire au programme des M1 de mathématiques, a pour objet l'étude des automorphismes des extensions algébriques d'un corps donné. Elle est d'un grand intérêt arithmétique quand on s'intéresse aux extensions algébriques du corps Q des nombres rationnels. A cet égard, un objet particulièrement important est le groupe de Galois dit `absolu' de Q, c'est-à-dire le groupe des automorphismes de sa clôture algébrique, le corps formé de l'ensemble des nombres complexes qui sont racines d'un polynôme à coefficients rationnels.
Dans les années 1960, Grothendieck à montrer que il existait des actions naturelles de ce groupe sur les complétés profinis des groupes fondamentaux topologiques des variétés algébriques, pourvu que ces dernières puissent être définies par des équations à coefficients rationnels. Un théorème marquant de Belyi, au début des années 70, implique que cette action est fidèle dans beaucoup de cas.
Comme les groupes de tresses peuvent être vu comme de tels groupes fondamentaux, le groupe de Galois absolu peut être imaginé comme sous-groupe remarquable des automorphismes des complétés profinis de ces groupes. Drinfeld a montré que l'image du groupe de Galois était en fait inclus dans un groupe remarquable, qu'il a appelé `groupe de Grothendieck-Teichmüller'. Il est conjecturé que, pour un nombre suffisant de brins, ce groupe de Grothendieck-Teichmüller s'identifie au groupe des automorphismes (extérieurs) du groupe de tresses et que, de plus, ce groupe de Grothendieck-Teichmüller coincide avec le groupe de Galois absolu. Cela donnerait une description `combinatoire' de cet objet important de la théorie des nombres.
D'autre part, le groupe de Grothendieck-Teichmüller, admet plusieurs `versions', celle que l'on vient de décrire étant appelée la `version profinie'. La version `pro-unipotente' est de son côté reliée à d'autres aspects de la théorie algébrique des nombres : la théorie des nombres zeta multiples et la théorie des motifs.
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