Représentations de monodromie
Depuis les travaux de B. Riemann, au 19ème siècle, on a l'habitude de considérer
un espace géométrique comme un `recollement' de proche en proche d'espaces
habituels, `plats'. De ce point de vue découle naturellement la notion de monodromie.
Si on considère un chemin dans cet espace, on pourra le recouvrir de petites boules dans
lesquelles tout se passe `comme d'habitude'; considérons maintenant
une fonction sur la première boule, et supposons qu'elle n'admette
qu'une façon naturelle de se prolonger à la boule suivante, d'intersection non vide avec
la première (c'est le cas notamment si notre espace total est une variété complexe et que
l'on ne prend en compte que des fonctions analytiques). Alors de proche en proche on pourra
définir une fonction sur chacune des boules, et notamment sur la dernière.
Ce procédé qui permet de passer de la première boule à la dernière est ce que l'on appelle
la monodromie de la fonction de départ le long du chemin. En général, il dépend
fortement du chemin, et notamment de sa classe d'homotopie. Remarquons en particulier que,
si le chemin est un lacet, de sorte que la dernière boule peut être choisie égale à la
première, il n'y a pas de raison que la fonction obtenue soit la même qu'au départ.
Les représentations de monodromie du groupe fondamental d'un espace géométrique sont construites
à partir de cette idée. Plus précisément, un point-base (et une boule de base !) étant
choisi(e), on peut considérer un sous-espace vectoriel particulier de l'espace vectoriel des
fonctions -- si possible de dimension
finie -- par exemple le sous-espace vectoriel des fonctions satisfaisant une certaine équation différentielle.
Alors, l'opération de monodromie le long d'une classe d'homotopie de lacet fournira un
endomorphisme de cet espace vectoriel de dimension finie, et finalement une représentation linéaire
du groupe fondamental de l'espace géométrique, c'est-à-dire une façon de faire
agir ce groupe fondamental par des matrices.
Parmi les groupes pour lesquels cette approche est très fructueuse, on trouve notamment
les groupes libres et les groupes de tresses , généralisés ou non.
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