Groupes de réflections
La classification des polyèdes réguliers peut être considéré
comme l'un des joyau des mathématiques grecques de l'antiquité.
C'est notamment l'objet du dernier tome des Eléments d'Euclide.
Alors qu'il existe des polygones réguliers à une nombre arbitraire
de côtés, il n'y a que 5 polyèdres réguliers. On sait depuis le 19ème
siècle, par les travaux du mathématicien allemand Schäffli, qu'en dimension 4 il y a
6 polytopes réguliers (l'un d'entre eux est représenté en projection sur la figure).
Ensuite cela se raréfie : il n'y en a plus que 3 en
dimension au moins 5.
La compréhension moderne de ce phénomène repose sur la théorie des
groupes de réflections. On peut montrer que l'ensemble des isométries d'un tel polytope
est un groupe fini qui est engendré par des réflections par rapport à un hyperplan. Au 20ème siècle
le mathématicien canadien Coxeter a montré comment classifier de tels groupes,
que l'on appelle depuis des groupes de Coxeter, et qui interviennent dans
de très nombreuses situations. L'un d'entre eux est simplement
le groupe symétrique, qui apparaît comme le groupe des isométries
du symplexe régulier (tétraèdre régulier en dimension 3, triangle équilatéral
en dimension 2).
De la même façon que l'on peut définir le groupe de tresses
comme une extension du groupe symétrique, on peut définir des groupes similaires,
appelés groupes de tresses généralisés, à partir de n'importe quel groupe de
réflection. De plus, si l'on étend la définition d'un groupe
de réflections à un espace vectoriel complexe, on obtient des groupes
qui ne relèvent plus en général de la théorie de Coxeter, mais qui
ont été également classifié (par les mathématiciens anglais Shephard et Todd,
dans les années 1950), mais auquels on peut encore associer des groupes
de tresses généralisés.
Ces groupes de réflections `complexes' sont l'objet de nombreuses recherches, de même
que les groupes de tresses qui leurs sont associés. J'ai montré notamment que certaines
représentations de monodromie du groupe de tresses, dont la représentation
de Krammer, admettent une généralisation au cadre des groupes de réflections
complexes.
Un autre phénomène remarquable
est que certaines structures algébriques naturellement associées à certains
groupes de réflections définis sur les rationnels (comme le groupe
symétrique), et appelées algèbres de Hecke, semblent admettre
une généralisation au cadre le plus général des groupes de réflections
complexes. Ce sujet est l'objet de conjectures qui restent
encore à démontrer.
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