Groupe de tresses
Un noeud (orienté) se laisse facilement modéliser comme une application
continue de R dans l'espace R^3 (on dit : un plongement) dont les limites en plus ou moins l'infini
tendent vers l'infini. On veut bien sûr que le noeud ne se
recoupe pas, c'est-à-dire que l'application soit injective.
De plus il est plus commode de considérer des
conditions de lissité plus restrictives (applications indéfiniment
dérivables) d'ajouter un point à l'infini à la source et
à l'arrivée. On obtient ainsi des applications du cercle S^1 vers
la `sphère de dimension 3' S^3, qui n'est autre que l'espace à 3 dimensions
auquel on a ajouté un point à l'infini. De tels noeuds
sont considérés identiques si l'on peut transformer l'un en l'autre en
déformant l'application sans en changer le caractère injectif.
Un entrelacs est un `noeud à plusieurs composantes' : par rapport à la définition précédente on considére maintenant les applications injectives partant d'une collection finie de copies de S^1 vers S^3.
Depuis les années 1980 sont apparus de nombreux invariants des noeuds,
c'est-à-dire des quantités numériques ou algébriques qui aident à
les distinguer.
La plupart d'entre eux sont reliés au groupe
de tresses . En effet, on peut obtenir n'importe quel entrelacs
à partir d'une tresse dont on referme les bouts les uns sur les
autres. Un invariant d'entrelacs à valeurs dans un anneau R
est alors la même chose qu'une `trace de Markov', c'est-à-dire une
collection de traces sur les algèbres de groupes des groupes de tresses
(= ensemble de combinaisons linéaires formelles d'éléments du groupe)
qui vérifient deux propriétés naturelles. Ce lien est l'une
des motivations de l'étude des représentations linéaires
des groupes de tresses.
Ces derniers temps je m'intéresse particulièrement aux invariants
de noeuds qui proviennent d'algèbres de Hecke cubiques.
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