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Dans cet exposé, nous introduirons brièvement le lien entre les champs de vecteurs homogènes dans et les structures affines sur la sphère de Riemann moins un nombre fini de points. En particulier, cette correspondance permet de décrire, du moins théoriquement et sous certaines conditions, la dynamique en temps réel d'un champ de vecteurs homogène à partir du flot géodésique sur la surface affine correspondante. Nous nous concentrerons sur des exemples de champs de vecteurs bien précis menant à des structures affines particulièrement simples, sur lesquelles le flot géodésique induit une famille d'échanges d'intervalles. Cette réduction à une dynamique discrète sur le cercle permet, in fine, de comprendre la dynamique du champ de vecteurs initial. Enfin, si le temps le permet, nous aborderons les nombreuses questions qui restent à ce jour ouvertes et les pistes envisagées pour y répondre.

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Étant donnée une suite sur un alphabet , le stabilisateur de , , est l'ensemble des endomorphismes de qui ont pour point fixe. Le stabilisateur est un monoïde. On sait qu'il peut être infiniment engendré mais aussi cyclique. Je m'intéresserai au cas où est uniformément récurrente et mettrai en évidence un résultat de J. Honkala de 2007 qui permet de simplifier des preuves de résultats connus, comme la cyclicité pour la suite de Morse ou celle de Fibonacci, mais aussi d'obtenir des résultats très généraux, à moindre frais, concluant au caractère abélien ou finiment engendré de ce stabilisateur.