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Les méthodes classiques de volumes finis pour les problèmes multidimensionnels incluent la stabilisation (par exemple via un solveur de Riemann), obtenue en considérant plusieurs problèmes unidimensionnels dans différentes directions. De telles méthodes ignorent donc un éventuel équilibre de contributions provenant de différentes directions, tel que celui caractérisant les états stationnaires multidimensionnels. Au lieu d'être préservées, elles sont généralement dispersées par ces méthodes. Les méthodes préservant la stationnarité utilisent un terme de stabilisation plus adapté qui s'annule à l'état stationnaire, ce qui permet à la méthode de le préserver. Ce travail présente une approche générale des méthodes de volumes finis préservant la stationnarité pour les lois de conservation/équilibre non linéaires. Elle repose sur une extension multidimensionnelle de l'approche par flux global. Les nouvelles méthodes se révèlent nettement plus performantes que les méthodes existantes, même si ces dernières sont d'un ordre de précision supérieur et même sur des solutions non stationnaires.

Les automates cellulaires sont des systèmes dynamiques discrets qui peuvent être définis sur n'importe quel groupe finiment engendré. L'étude des liens entre les propriétés élémentaires de leurs orbites et le groupe sur lequel ils sont définis s'est révélée d'une grande richesse, donnant lieu par exemple au théorème du Jardin d'Éden qui fournit une caractérisation des groupes moyennables. On peut se demander quelles propriétés du groupe peuvent être capturées par des propriétés élémentaires des orbites d'automates cellulaires. Dans cet exposé, nous nous intéressons à une généralisation des automates cellulaires à des graphes arbitraires, et aux propriétés des orbites que l'on peut exprimer en logique du premier ordre. Nous verrons que, dans ce cadre, la logique du premier ordre sur les orbites est équivalente à la logique monadique du second ordre sur les graphes, ce qui est gage d'une grande expressivité. Pour les graphes de Cayley de groupes, nous obtenons comme corollaire une propriété des orbites qui est décidable si et seulement si le groupe est virtuellement libre, ce qui est à rapprocher de la conjecture de Ballier-Stein, affirmant qu'il en serait de même pour le problème du domino.
NB: cet exposé ne suppose aucun prérequis sur les automates cellulaires, ni en logique.

Catalan objects are basics objects for all combinatorialists. This talk aims to venture into the world of Catalan, to observe its various objects as well as their relationships. We will encounter Dyck paths, binary trees, and some surprising mathematical equalities. Finally, we will explore the Tamari lattice and its intervals, in order to discuss current research related to it.

L'algèbre de loop Hecke est une version de l'algèbre de Hecke pour le groupe de tresses de cercle (loop braid group), qui a été introduite par C. Damiani, P. Martin et E. Rowell. Nous tâcherons d'expliquer les ressemblances, ainsi que les différences, avec l'algèbre de Hecke "classique" associée au groupe de tresses usuels. La première partie de cet exposé s'attardera sur la définition, ainsi que la question subtile de la dimension de cette algèbre de loop Hecke. Dans une seconde partie, nous aborderons le lien avec les groupes quantiques, en établissant une dualité de Schur-Weyl non semi-simple. Ce travail est en commun avec G. Janssens, L. Schelstraete et P. Vaz.

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La fonction de Brjuno, dont la définition fait intervenir l’opérateur de Gauss , joue un rôle fondamental dans l’étude du système dynamique engendré par les itérations d’une fonction holomorphe au voisinage d’un point fixe. C’est notamment l’objet des travaux de Yoccoz dans les années 90. Ces vingt dernières années, il est apparu que la fonction de Brjuno – ou du moins certaines de ses variantes – intervient dans des cadres très différents tels que la théorie analytique des nombres ou l’approximation diophantienne, ce qui a conduit notamment à l’étude de son comportement local et de ses minima. Dans cet exposé je présenterai les premiers résultats obtenus dans un travail en cours avec T. Lamby et S. Nicolay sur les fonctions de Brjuno généralisées introduites par Marmi, Moussa et Yoccoz en 1997.

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Le problème du transport optimal de Monge remonte à la fin du 18e siècle. Il consiste à minimiser le coût de transport d'un matériau d'une distribution de masse vers une autre. Monge n'a pas pu résoudre le problème et l'étape suivante a été franchie 150 ans plus tard par Kantorovich qui a introduit la distance de transport entre deux mesures de probabilité ainsi que le problème dual. Suite au ré-arrangement de champs de vecteurs par Brenier en 1987, le problème a été conclu par une série de papiers récents. La distance de Monge-Kantorovich n'est pas facile à utiliser pour les équations aux dérivées partielles et la méthode du doublement global des variables est l'une d'entre elles. Elle est très intuitive en termes de processus stochastiques et nous fournit une méthode pour les EDP conservatives telles que les équations paraboliques (éventuellement fractionnaires), l'équation de Boltzman homogène, l'équation de diffusion ou l'équation de milieu poreux... Les équations structurées, telles qu'elles apparaissent en biologie mathématique, constituent une classe particulière pour laquelle la méthode peut être utilisée.

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