Colloquium à venir

La modélisation d’un certain nombre d’écoulements s’appuie sur des lois de conservation en mécanique des fluides qui conduisent à des systèmes d’équations aux dérivées partielles que l’on qualifie d’hyperboliques, pour lesquels on peut relier la propagation d'ondes « élémentaires » aux valeurs propres de la matrice Jacobienne du flux. Pour ces systèmes, un cadre d’analyse théorique précis a été développé, surtout à partir des années 1950 (citons par exemple Godunov, Kruzhkov, Lax…). Parallèlement, les méthodes de type volumes finis qui ont été introduites pour approcher ces modèles ont bénéficié de nombreuses contributions permettant de développer également un cadre de recherche en analyse numérique. Des résultats importants ont permis de donner une validation théorique à ces méthodes et ainsi de les populariser dans de nombreux domaines d’application tout en favorisant des collaborations industrielles qui ont conduit à augmenter progressivement la complexité des modèles, continus et numériques, et à élargir les domaines d’application, ce qui en retour a favorisé la croissance de ce domaine de recherche. À titre d’exemples, les méthodes de relaxation et les méthodes cinétiques, ou les propriétés WB (well balanced) et AP (asymptotic preserving), particulièrement importantes pour certains types d’application, comme les écoulements géophysiques, ont fait l’objet d’approches et de résultats théoriques intéressants. On rappellera le cadre général, en développant certains de ces points particuliers, avant d’étudier un exemple de modèle « quasi-hyperbolique » obtenu à partir des équations d’Euler hydrostatique à surface libre.

Le problème du transport optimal de Monge remonte à la fin du 18e siècle. Il consiste à minimiser le coût de transport d'un matériau d'une distribution de masse vers une autre. Monge n'a pas pu résoudre le problème et l'étape suivante a été franchie 150 ans plus tard par Kantorovich qui a introduit la distance de transport entre deux mesures de probabilité ainsi que le problème dual. Suite au ré-arrangement de champs de vecteurs par Brenier en 1987, le problème a été conclu par une série de papiers récents. La distance de Monge-Kantorovich n'est pas facile à utiliser pour les équations aux dérivées partielles et la méthode du doublement global des variables est l'une d'entre elles. Elle est très intuitive en termes de processus stochastiques et nous fournit une méthode pour les EDP conservatives telles que les équations paraboliques (éventuellement fractionnaires), l'équation de Boltzman homogène, l'équation de diffusion ou l'équation de milieu poreux... Les équations structurées, telles qu'elles apparaissent en biologie mathématique, constituent une classe particulière pour laquelle la méthode peut être utilisée.