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Les faisceaux pervers équivariants sur les groupes algébriques réductifs et leurs algèbres de Lie sont des objets fondamentaux en théorie géométrique des représentations. Les travaux de Springer et d'autres ont éclairé le rapport entre les faisceaux pervers et les représentations des groupes de Weyl et celles des algèbres de Hecke affines. Plus récemment, l'étude des faisceaux pervers sur les algèbres de Lie graduées a reconnu de nouveaux intérêts. De nouvelles structures interviennent, telles que les algèbres de Hecke doublement affines (=algèbres de Cherednik) et la théorie des invariants et les groupes de réflexions complexes. Dans mes travaux récents en collaboration avec Tsai, Vilonen et Xue (arXiv:2409.04030,arXiv:2512.20472), nous avons établi une construction uniforme des faisceaux-caractères cuspidaux et ainsi achevé la classification des faisceaux-caractères cuspidaux sur les algèbres de Lie graduées dans de nombreux cas, dont les algèbres de Lie classiques.
Je commencerai cet exposé par un survol des résultats classiques sur les faisceaux pervers sur les groupes réductifs et leurs algèbres de Lie, principalement établis par G. Lusztig dans les années 1980 et 1990. Dans un deuxième temps, j’expliquerai les questions et les résultats autour des faisceaux pervers sur des algèbres de Lie munies d'une graduation cyclique, dont le problème de classer les faisceaux-caractères cuspidaux et son rapport aux modules de dimension finie des algèbres de Hecke doublement affines.