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Les domaines de la Physique regorgent d'équations différentielles ou aux dérivées partielles, décrivant l'évolution des divers systèmes considérés, appelées "équations du mouvement". On constate immédiatement que d'une situation à l'autre, la forme et les propriétés de l'équation obtenue varient drastiquement. Ceci est troublant car la démarche du "raisonnement physique" et les objets mathématiques utilisés semblent, eux, invariables. De plus, il existe tout-de-même certaines contraintes qui paraissent relativement universelles (comme la conservation de l'énergie par exemple).
Il est donc raisonnable de réclamer un formalisme global, permettant de retrouver ces équations à partir d'un principe général. Initiée par Fermat en optique et Maupertuis en général, améliorée par Euler et Lagrange puis approfondie par Hamilton, cette quête a mené à ce qu'on appelle le principe de moindre action : une égalité de quatre symboles qui permet de retrouver toutes les équations du mouvement connues, mais aussi d'en établir de nouvelles. Après en avoir présenté les grandes lignes historiques et l'avoir illustré en quelques exemples, je détaillerai dans cet exposé comment Hilbert a pu utiliser ce principe pour obtenir la fameuse équation de champ d'Einstein en Relativité Générale.
Cette dernière théorie, basée sur la géométrie riemannienne, fait par exemple intervenir de façon essentielle une forme volume, ainsi que la notion de courbure (scalaire comme tensorielle) d’une connexion. De tels objets sont naturellement associés à la métrique, dès lors que celle-ci est non-dégénérée. Certaines approches récentes en gravité quantique suggèrent cependant l’utilisation de métriques dégénérées et il faut alors adapter la théorie. Dans un travail initié en 2024 avec Emmanuele Battista nous avons pu, à l’aide d’une version tensorielle de l’inverse de Moore—Penrose et pour une métrique de rang constant, construire une connexion canonique généralisant celle de Levi-Civita et conservant certaines propriétés agréables. Si le temps le permet, j’expliquerai comment adapter l’action d’Einstein—Hilbert à ce cadre et quelles modifications le principe variationnel apporte alors à l’équation de champ.