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Les automates cellulaires sont des systèmes dynamiques discrets qui peuvent être définis sur n'importe quel groupe finiment engendré. L'étude des liens entre les propriétés élémentaires de leurs orbites et le groupe sur lequel ils sont définis s'est révélée d'une grande richesse, donnant lieu par exemple au théorème du Jardin d'Éden qui fournit une caractérisation des groupes moyennables. On peut se demander quelles propriétés du groupe peuvent être capturées par des propriétés élémentaires des orbites d'automates cellulaires. Dans cet exposé, nous nous intéressons à une généralisation des automates cellulaires à des graphes arbitraires, et aux propriétés des orbites que l'on peut exprimer en logique du premier ordre. Nous verrons que, dans ce cadre, la logique du premier ordre sur les orbites est équivalente à la logique monadique du second ordre sur les graphes, ce qui est gage d'une grande expressivité. Pour les graphes de Cayley de groupes, nous obtenons comme corollaire une propriété des orbites qui est décidable si et seulement si le groupe est virtuellement libre, ce qui est à rapprocher de la conjecture de Ballier-Stein, affirmant qu'il en serait de même pour le problème du domino.
NB: cet exposé ne suppose aucun prérequis sur les automates cellulaires, ni en logique.

La fonction de Brjuno, dont la définition fait intervenir l’opérateur de Gauss , joue un rôle fondamental dans l’étude du système dynamique engendré par les itérations d’une fonction holomorphe au voisinage d’un point fixe. C’est notamment l’objet des travaux de Yoccoz dans les années 90. Ces vingt dernières années, il est apparu que la fonction de Brjuno – ou du moins certaines de ses variantes – intervient dans des cadres très différents tels que la théorie analytique des nombres ou l’approximation diophantienne, ce qui a conduit notamment à l’étude de son comportement local et de ses minima. Dans cet exposé je présenterai les premiers résultats obtenus dans un travail en cours avec T. Lamby et S. Nicolay sur les fonctions de Brjuno généralisées introduites par Marmi, Moussa et Yoccoz en 1997.