Séminaires GAT en 2012

Cet exposé concerne les conjectures Global/Local en théorie des représentations des groupes finis, comme la conjecture de McKay (1970) ou d'Alperin (1986). Les théorèmes de réduction de ces conjectures à des conditions sur les groupes quasi-simples (Isaacs- Malle-Navarro 2007, Navarro-Tiep 2011) font intervenir une condition cohomologique sur les couples de représentations du groupe ambient et d'un sous-groupe local. Cette condition a été reformulée par Späth (2012), ce qui permet une simplification importante de la réduction aux groupes quasi-simples ainsi que des applications aux blocs. Il est donc possible dans un exposé de donner une idée assez complète de ces démonstrations, au moins dans le cas de McKay. Je présenterai aussi une application (Späth 2012) à un raffinement (Isaacs-Navarro) de la conjecture de McKay.

Dans l'algèbre de Lie d'un groupe réductif, on appelle variétés orbitales les composantes irréductibles de l'intersection d'une orbite nilpotente avec une sous-algèbre de Borel Lie(B). Les variétés orbitales sont des variétés algébriques quasi-affines, en général singulières, et elles interviennent en théorie des représentations dans l'étude des représentations de Springer des groupes de Weyl ou des idéaux primitifs des algèbres enveloppantes. Dans cet exposé, on étudie la géométrie des variétés orbitales sous l'angle de deux propriétés: la propriété d'être lisse et la propriété de posséder une B-orbite dense. Pour le type A, on donne plusieurs critères qui suggèrent un lien entre ces deux propriétés.

Various global/local conjectures in the representation theory of finite group were reduced to statements about simple groups. The first of these was Isaacs-Malle-Navarro's reduction of the McKay conjecture to conditions on simple groups, the inductive McKay conditions. In the talk I want to discuss how one can reformulate their proof to obtain a reduction theorem for the Alperin-McKay conjecture, using projective representations and results about the Dade-Glauberman-Nagao correspondence. In addition I also want to explain how to check the inductive Alperin-McKay conditions for an assortment of simple groups. As an outlook we discuss how this is related to other conjectures in this area.

We review results on Hochschild cohomology of Hecke algebras by Linckelmann and Benson--Erdmann. Linckelmann's work is based on J. Du's result on the invertibility of a certain image of a transfer map. We introduce Du's 'modular representation theoretic' techniques and show how it works explicity in the dihedral case.

We define the concept of diagrams for a 3-transposition groups and its associated Fischer spaces. We prove that in the category of symplectic spaces, any space has a diagram and that in the category of Fischer spaces the only possible diagrams are the single laced Dynkin diagrams.

In this talk we define an additive category such that it contains a full subcategory equivalent to the Biset Category defined by Serge Bouc. We prove that every object in this new category is a, uniquely defined, direct sum of objects in the Biset Category such that the additives functors categories are isomorphic. We also talk about some classical functors represented in this category.

Fusion systems are algebraic models for certain topological spaces which homotopy is similar to that of p-completions of classifying spaces of finite groups. The cohomology of a fusion system is defined as certain invariants and it coincides with the cohomology of the associated topological space. We will start indroducing these notions and explaining how to extend the method of invariants to other contexts. Then we will focus on the method of invariants applied to the Lyndon-Hochschild-Serre spectral sequence (LHSss). This gives rise to a new spectral sequence that computes the cohomology of a fusion system. This spectral sequence exists whenever there is a strongly closed subgroup and hence it might be applied in situations where the LHSss cannot. For instance, to compute the cohomology of finite simple groups. We will give an example.

En théorie des représentations modulaires des groupes finis, le groupe de Dade d'un -groupe permet de classifier les modules d'endo-permutation. Il a été introduit en '78 par Dade et la classification finale est le résultat du travail combiné et de longue haleine de plusieurs (co)-auteurs entre 1998 et 2004, incluant J. Alperin, S. Bouc, J. Carlson, N. Mazza et J. Thévenaz. Cependant, aucun équivalent du groupe de Dade n'avait été défini pour un groupe fini arbitraire . Le but de cet exposé est de décrire comment palier à ce manque. On obtiendra un groupe de Dade généralisé pour n'importe quel groupe fini , à partir d'une sous-classe de la classe des -modules d'endo-p-permutation, en utilisant la théorie de la projectivité relative à un module et celle des modules endo-triviaux relatifs. On donnera finalement une description explicite de la structure du groupe et montrera qu'elle est étroitement liée à celle des points -stables du groupe de Dade d'un -sous-groupe de Sylow de .

I will talk about some recent work concerning -sets which are stable with respect to , where is a saturated fusion system on . The -stable -sets turn out to have a unique (up to -isomorphism) decomposition into irreducible -stable -sets. I will also describe a method of constructing the irreducible -stable -sets in general.

Nous allons comparer l'invariant de noeuds classiques défini par la trace de Juyumaya sur l'algèbre de Yokonuma-Hecke avec le polynôme HOMFLYPT. Nous montrons que ces deux invariants ne coïncident que dans certains cas triviaux.

Plusieurs théorèmes de coefficients universels qu'on trouve en Nature -- connus et aussi moins connus -- peuvent se reformuler en termes de foncteurs cohomologiques sur des catégories triangulés où, de plus, est la restriction du foncteur de Yoneda à une certaine petite sous-catégorie pleine de . La question intéressante devient alors d'identifier de telles sous-catégories "suffisamment héréditaires", pour lesquelles on puisse obtenir une suite courte exacte qui calcule les groupes de en termes de modules sur . Cela nous amène à des questions d'algèbre homologique de Gorenstein et a des conditions de symétrie sur , qu'on ira illustrer avec des exemples bien variés. (En collaboration avec Greg Stevenson et Jan Stovicek.)

Ring epimorphisms are relevant to study certain subcategories of a fixed module category or of its derived category. One way to construct ring epimorphisms is to consider universal localisations, as defined by Cohn and Schofield. In this talk we will show that, in some cases, ring epimorphisms with a particularly nice homological property (so called homological ring epimorphisms) are precisely those given by universal localisations. Moreover, we consider recollements induced by some homological ring epimorphisms and investigate whether they yield recollements of derived module categories. Finally, we will present a generalisation of universal localisation, introduced by Krause, and discuss sufficient conditions for its existence. This is joint work with Jorge Vitoria