Séminaires GAT en 2020

L’espace des fonctions sur à valeurs dans C est naturellement muni d’une transformation de Fourier. Par restriction, elle induit un opérateur de Fourier sur les fonctions sur . Cet opérateur de Fourier a des propriétés très intéressantes, comme celle de distinguer les séries de Lusztig de . Pour tout groupe réductif sur un corps fini et toute représentation du groupe dual on peut transférer en un opérateur de Fourier sur les fonctions sur . Dans cet exposé on discutera de la question du prolongement de tels opérateurs. Cette question est motivée par les travaux de Bravermann-Kazhdan puis de Lafforgue sur l’approche des conjectures de fonctorialité pour les groupes réductifs sur des corps locaux etglobaux par les transformations de Fourier. Il s’agit d’un travail en cours avec Gérard Laumon.

Le groupe des tresses soudées (pures) est une généralisation naturelle du groupe de tresses (pures), en dimension supérieure. C’est un objet riche, qui admet plusieurs descriptions ; il s’identifie notamment au groupe des automorphismes du groupe libre qui envoient chaque élément de la base sur un de ses conjugués. Son quotient par la relation d’homotopie (d’entrelacs) près admet une description algébrique similaire, où l’on remplace le groupe libre par le groupe réduit libre. C’est un groupe nilpotent, dont on peut donner une présentation explicite, comme on le verra dans cet exposé.

Des déformations d’algèbres amassées avec plusieurs paramètres quantiques (algèbres amassées toroidales) apparaissent naturellement dans l’étude des représentations d’algèbres affines quantiques. Par ailleurs, la construction algébrique de l’anneau de Grothendieck quantique par Hernandez suggère que nous pouvons avoir aussi assez naturellement des déformations avec plusieurs paramètres de ces anneaux (anneaux de Grothendieck toroidaux). Ces objets sont fortement liés ; en particulier lorsque les anneaux de Grothendieck fournissent des exemples de catégorification monoïdale d’algèbres amassées. Nous allons construire l’anneau de Grothendieck toroidal pour une algèbre affine quantique simplement lacée et nous allons prouver que, de manière remarquable, pour une certaine catégorie monoidale , il y a une structure naturelle d’algèbre amassée toroidale. Ce travail est en collaboration avec D. Hernandez.

Le classifiant d’un groupe est un espace topologique, , encodant de nombreuses propriétés du groupe. Notamment, l’homologie singulière de l’espace est isomorphe à l’homologie du groupe , et les -fibrés principaux sont classifiés par les classes d’homotopie d’applications continues de but . Ces deux propriétés en font un objet central à la fois en théorie des groupes et en topologie algébrique. L’espace est seulement défini à homotopie près, et plusieurs modèles différents sont connus, en terme d’espaces topologiques, de CW-complexes ou d’ensembles simpliciaux. Cependant, aucun modèle de comme complexe simplicial n’est connu, bien que des résultats "classiques" de théorie de l’homotopie garantissent que de tels modèles doivent exister pour tout groupe . Dans cet exposé, après avoir introduit les notions de classifiants de groupe et de complexes simpliciaux, on présentera une construction explicite associant à tout groupe un complexe simplicial modélisant . Ce résultat est l’objet d’un travail en cours avec Ivan Marin.

Dans l’article "On category O of a rationnal cherednik algebra", Ginzburg, Guay, Opdam, Rouquier établissent une équivalence de catégorie entre une catégorie de modules sur l’algèbre de Cherednik d’un groupe de réflexions complexe dont la définition s’inspire des travaux de Bernstein, Gelfand et Gelfand sur les algèbres de Lie semi-simple et la catégorie des modules d’une algèbre de Hecke. En suivant les idées introduites dans cet article, nous établissons des résultats similaires pour d’une part une extension de l’algèbre de Hecke par l’algèbre de Hecke d’un normalisateur d’un sous groupe de réflexions complexe définies par I.Marin dans "Lattice extension of a Hecke algebra" et d’autre part pour une extension par treillis de l’algèbre de Hecke d’un groupe de réflexions complexe. Nous relions ensuite ces deux approches.

La notion de cristal associé à une représentation irréductible d’une algèbre de Lie, introduite dans les années 90 par Kashiwara, Lusztig et Littelmann, donne une description combinatoire simple du caractère associé à cette représentation. La partie dominante de ce caractère admet une graduation subtile où les dimensions des espaces de poids sont remplacées par leurs q-analogues naturels (polynômes de Kostka, -analogues de Lusztig). Le but de l’exposé sera de présenter un modèle combinatoire pour la partie dominante de ces caractères. Ce modèle en donne une décomposition "atomique" : chaque atome étant la somme formelle des poids dominants inférieurs ou égaux à un poids dominant donné. Cette décomposition est conjecturalement compatible avec la graduation précédente pour les type classiques et j’expliquerai pourquoi la conjecture est vraie en type . C’est un travail en commun avec C. Lénart (Albany USA).

L’exposé se base sur l’article « The additive completion of the biset category » (Ibarra, Raggi, R., 2018), où l’on reprend le travail de thèse de Jesús Ibarra (soutenue en 2014), qui malheureusement a arrêté les mathématiques depuis. Dans l’article on complète et précise les résultats de la thèse d’Ibarra, pour donner une description de la complétion additive de la catégorie de biensembles comme une catégorie dont les objets sont des fractions de dénominateur un groupe fini, et de numérateur un ensemble fini sur lequel ce groupe agit. Cette catégorie est de plus symétrique, monoïdale, auto-duale et possède une décomposition de Krull-Schmidt pour les objets.

Un topos de Grothendieck est une catégorie équivalente à une catégorie de faisceaux d’ensembles sur un site de Grothendieck. Les topos sont pertinents pour étudier des théories cohomologiques comme la cohomologie étale des schémas par exemple. Les topos supérieurs permettent de traiter de la théorie de l’homotopie sur un site de Grothendieck. On montrera comment la théorie de l’homotopie des espaces topologiques peut être revisitée à l’aide de ce formalisme (suivant des travaux de D. Dugger et D. Isaksen). Cette approche s’applique au cadre des variétés algébriques et donne des modèles pour l’homotopie motivique (toujours d’après D. Dugger et D. Isaksen). On expliquera que cette approche s’adapte aux espaces stratifiés et donne un cadre naturel pour étudier la cohomologie d’intersection d’un point de vue homotopique. En particulier on montrera comment des résultats récents sur la représentabilité de la cohomologie d’intersection en termes d’espaces de lacets infinis stratifiés (obtenus en collaboration avec D. Tanré) s’insère dans ce paysage.

Les théories simpliciales d’homotopie ramènent l’étude des espaces topologiques à l’étude de structures combinatoires, ensuite épaissies par des simplexes : c’est ce qu’on appelle leur réalisation géométrique. Considérant, par description barycentrique, un simplexe de dimension n comme l’espace des mesures de probabilité sur un espace à n éléments, on est naturellement amené à introduire l’espace de variables aléatoires discrètes correspondant, et à l’utiliser en remplacement des simplexes pour fournir une nouvelle réalisation géométrique. L’application qui à une variable aléatoire associe sa loi de probabilité fournit un lien naturel entre les deux constructions, que nous décrirons dans les trois cadres usuels : celui des complexes simpliciaux, celui des ensembles simpliciaux, et celui des ensembles pré-simpliciaux. Cela permet notamment d’obtenir une description topologique simple et naturelle de l’espace classificant d’un groupe discret.

Generalizing from finite groups to finite categories, a biset category may be contructed whose objects are the finite categories and whose morphisms are linear combinations of bisets (known also as distributors, and as profunctors) for these categories. The linear functors to the category of abelian groups are then biset functors, defined on finite categories in general, not just finite groups. We discuss how the parametrization of simple biset functors becomes more complicated when the groups are allowed to be categories. For groups, the simple biset functors S are parametrized by pairs where is a group and is a simple module for . The parametrization has the property that is a minimal group on which is non-zero, and there is a unique such group , up to isomorphism. The parametrization is aided by the fact that groups are isomorphic in the biset category, if and only if they are isomorphic as groups, as well as other things : the decomposition of bisets, due to Bouc, as a composite of standard bisets ; and the fact that ’essential algebra’ of a group H in the biset category is a copy of the group ring of . We discuss the way these properties fail in the context of bisets for categories. Even before we discuss this failure, we must formulate what we mean by things such as the outer automorphism group of a category, the essential algebra, and a standard biset. Along the way we discover some unexpected structure

In 1992, Dress, Siebeneicher and Yoshida introduced the Frobenius-Wielandt morphism (FW morphism), defined from the Burnside ring of a cyclic group C to the Burnside ring of a finite group G of order |C|. Their intention was to give a precise conceptual interpretation of the observation that many elementary group-theoretic results can be derived from the fact that various invariants of an arbitrary group are closely related to the same invariant evaluated for the cyclic group C. Among other properties, they investigated the relation of the FW morphism with the operations of restriction, induction, inflation and fixed points. In this talk we will see what can we say about its relation with tensor induction and deflation and, while doing this, we will see its relation with induction from a different perspective.

In this talk, I will present some results from our recent joint work with Matthew Gelvin [1]. Let be a finite group and an algebraically closed field of char- acteristic . In this work, we define the notion of a Dade -module as a generalization of endo-permutation modules for p-groups. We show that under a suitable equivalence relation, the set of equivalence classes of Dade - modules forms a group under tensor product, and the group obtained this way is isomorphic to the Dade group defined by Lassueur [2]. We also consider the subgroup of generated by relative syzygies , where is a finite -set. Let denote the group of superclass functions defined on the p-subgroups of . There are natural generators of . We prove that there is a well-defined group homomorphism : that sends to . The main theorem of this work is the verification that the subgroup of consisting of the dimension functions of k-orientable real representations of lies in the kernel of . In the proof we consider Moore -spaces which are the equivariant versions of spaces which have nonzero reduced homology in only one dimension.

Dans cet exposé nous allons rappeler la procédure de Long et Moody pour construire des représentations linéaires des groupes de tresses et nous allons l’adapter au cas des groupes des tresses de cercles (ou w-tresses). Ce sera l’occasion à la fois de présenter les groupes de tresses de cercles et leurs différentes définitions et de revenir sur des représentations des groupes de tresses, célèbres (Burau, BKL...) ou peu connues (TYM), et des problèmes qu’on rencontre quand on cherche de les étendre à d’autres groupes dans lesquels les groupes de tresses se plongent « canoniquement ».

Un des objectifs de ces travaux en cours faits en collaboration avec L. Foissy, P.-L. Giscard et M. Ronco est de construire de manière algébrique les chemins d’un graphe donné à partir des chemins élémentaires que sont les cycles simples et les chemins auto-évitants. Il existe une construction combinatoire déterminée par P.-L. Giscard, S.J. Thwaite et D. Jaksch. Leur construction repose sur les règles de suppression de boucles de Lawler et un produit de greffe décrit par P.-L. Giscard. Malheureusement, le produit ne satisfait pas la relation d’associativité, la relation pré-Lie ou la relation de crochet de Lie. Nous avons donc construit un coproduit co-pré-Lie à partir des règles de Lawler et du produit que nous avons étendu en algèbre de Hopf. L’objectif de cet exposé sera de présenter cette algèbre de Hopf. Nous commencerons d’abord par définir les règles de suppression de boucles de Lawler et le produit . Nous expliciterons ensuite le coproduit pré-Lie et la structure d’algèbre de Hopf construite sur les chemins de graphes. Nous expliquerons enfin, via un morphisme d’algèbres de Hopf, comment considérer les chemins à partir de chemins spéciaux appelés cactus.

Embedding calculus of Goodwillie and Weiss is a certain homotopy theoretic technique for studying spaces of embeddings. When applied to the space of knots this method gives a sequence of knot invariants which are conjectured to be universal Vassiliev invariants. This is remarkable since such invariants have been constructed only rationally so far and many questions about possible torsion remain open. In this talk I will present some explicit computations and outline why these knot invariants are surjections. This confirms one half of the universality conjecture, and confirms it rationally, and p-adically in a range. We also prove some missing cases of the Goodwillie—Klein connectivity estimates.

Les foncteurs de bi-ensembles simples sur un corps F sont paramétrés par les couples , où est un groupe fini, et une représentation simple sur du groupe d’automorphismes extérieurs de . Lorsque F est un corps de caractéristique 0, je décrirai certaines conséquences sur la structure de et résultant de l’existence d’une extension non-scindée entre des simples paramétrés par et . Je décrirai aussi toutes les extensions du foncteur simple paramétré par (isomorphe au foncteur des représentations rationnelles à coefficients dans ) par un foncteur simple arbitraire. Je montrerai comment des résultats similaires peuvent être établis lorsque est un corps de caractéristique 2 pour les foncteurs restreints aux groupes d’ordre impair.