Séminaires GAT en 2023

Associé à un groupe de Weyl, il y a deux ensembles d’objets combinatoires, comptés par le nombre de Catalan généralisé, qui s’appellent les partitions non-croisées et les partitions non-imbriquées. Ces objets ont des liens très intéressants avec la théorie des représentations d’algèbres : pour ne citer qu’un résultat, par exemple, les partitions non-croisées sont en bijection avec les sous-catégories "wide" de la catégorie des modules sur des algèbres héréditaires de type finie. La question d’une relation exacte entre ces deux objets n’admet que des réponses partielles. Récemment, nous avons mis en lumière des liens supplémentaires, renforçant certains liens déjà connus, dans le cas du groupe symétrique : pour tout élément de Coxeter standard, nous construisons une bijection équivariante entre les partitions non-croisées sous l’action du complément de Kreweras et les partitions non imbriquées sous une action cyclique particulière, que nous appelons le complément de Kroweras. Cette bijection équivariante, construites à partir de règles locales, est l’unique bijection qui est à la fois équivariante et qui préserve le support. Dans cet exposé, je vais tenter de faire le tour de tous les ingrédients nécessaires, en exposant des aspects davantage tirés vers la théorie des représentations, afin d’aboutir à la construction de cette bijection. Ces travaux sont en collaboration avec Gabriel Frieden, Alessandro Iraci, Florian Schreier-Aigner, Hugh Thomas et Nathan Williams.

L’algèbre d’intersection d’une variété lisse consiste en l’algèbre des chaînes singulières (ou des cochaînes singulières) munie du produit d’intersection (ou du cup produit). La dualité de Poincaré implique l’existence de structures algébriques (Batalin-Vilkovisky) sur la cohomologie de Hochschild de cette algèbre. Une interprétation topologique de ces structures est donnée en termes d’espaces de lacets. Dans cet exposé, nous nous intéressons au cas des espaces topologiques possédant des singularités. En général, pour ces espaces, la dualité de Poincaré n’est plus vérifiée. Afin de la restaurer, M. Goresky et R. MacPherson ont introduit les complexes d’intersection qui possède une structure d’algèbre différentielle graduée perverse. Nous définirons la (co)homologie de Hochschild pour ce type d’objet et verrons sous quelles conditions on retrouve une algèbre de Batalin-Vilkovisky.

J’introduirai la notion de surface arithmétique formelle-analytique, inspirée de la géométrie complexe, et je montrerai comment des techniques de géométrie des nombres permettent d’utiliser ces objets pour démontrer ds théorèmes de finitude pour des algèbres de série formelle, pour des groupes fondamentaux, pour des points entiers de surfaces arithmétiques. Travail en commun avec Jean-Benoît Bost.

On introduit une structure opéradique d’un type nouveau sur les anneaux de Chow combinatoires, qui est induite par l’inclusion des strates des compactifications merveilleuses dans le cas réalisable. Ce nouveau type de structure opéradique est gouverné par une catégorie de Feynman dont la construction repose sur la combinatoire des ensembles construisants et des ensembles nichés. On donnera une "bonne" présentation de cette catégorie de Feynman, ce qui ouvre la porte à une théorie de dualité de Koszul pour ce type d’opérades. Enfin, on esquissera deux preuves que l’opérade des anneaux de Chow est Koszul, généralisant un résultat célèbre de Getzler.

Artin et Pfister ont démontré que tout polynôme réel en n variables qui ne prend que des valeurs >=0 est somme de 2^n carrés de fonctions rationnelles. Après une introduction générale à cette thématique (le dix-septième problème de Hilbert), je présenterai des extensions de ce théorème à des corps de séries formelles ou de fonctions analytiques.

Les quandles sont des structures algébriques introduites indépendamment par Joyce et Matveev en 1982 afin de colorier des noeuds et des entrelacs. En particulier, tout quandle fini Q induit un invariant d'entrelacs, qui associe à l'entrelacs L est le nombre col(L,Q) de coloriages possibles de L par les éléments de Q. On peut se demander à quel point ces invariants sont précis : étant donné deux entrelacs L et L' distincts, existe-t-il toujours un quandle fini Q tel que col(L,Q) soit différent de col(L', Q) ? On conjecture que c'est le cas, à condition que L' ne puisse pas être obtenu en prenant l'image miroir d'une partie de L. Le but de cet exposé n'est pas de montrer cette difficile conjecture, mais de montrer qu'on peut la reformuler en des termes proches des questions classiques de rigidité profinie. Ce qui nous mènera à explorer un peu la théorie des quandles profinis.

Les algèbres lisses sont des objets fondamentaux en théorie des représentations et en géométrie non commutative. Elles apparaissent en particulier comme algèbres des chemins de carquois ou bien algèbres de groupe des groupes virtuellement libres. L’algèbre libre (non commutative) sur un nombre fini de générateurs et les algèbres de groupe des groupes modulaire PSL(2,Z) et diédral infini en sont des exemples. On s’intéresse ici à ces algèbres lorsque le corps de base est un corps fini. Ce contexte est propice à des dénombrements. En particulier, en fixant la dimension, on compte le nombre de classes d’isomorphisme de représentations d’une algèbre lisse. On démontre que ce nombre est polynomial en le cardinal du corps fini considéré. Des propriétés de positivité peuvent être démontrées dans certains cas, comme conséquence d’une certaine propriété de pureté. Ces résultats sont connus pour les carquois, en particulier comme conséquence de la théorie de Donaldson—Thomas cohomologique. La théorie générale s’inspire de ce cas. Il s’agit de travaux en commun avec Fabian Korthauer.

Brav et Dyckerhoff ont montré que, dans un contexte approprié, les structures dites Calabi-Yau (CY) en algèbre noncommutative induisent des structures lagrangiennes sur les espaces de représentations. Je vais donner des applications de ce principe dans le cadre des carquois en exhibant de nouvelles sous-variétés lagrangiennes du schéma de Hilbert de points sur le plan, correspondant à des lieux critiques dits relatifs ou contraints. J'expliquerai aussi comment ces structures CY recouvrent des notions standard en géométrie Poisson et (quasi)Hamiltoniennes, et comment elles donnent lieu à une nouvelle théorie topologique des champs (TFT) si le temps le permet. C'est un rapport sur des travaux réalisés avec Damien Calaque et Sarah Scherotzke.

Étant donné un groupe G, on peut voir un élément de l'algèbre du groupe comme un opérateur G-équivariant sur l'espace de Hilbert l²(G). À un tel opérateur G-équivariant, le déterminant de Fuglede-Kadison associe un nombre réel positif, qu'on peut interpréter comme la partie positive d'un déterminant correctement renormalisé. Ce déterminant de Fuglede-Kadison généralise la mesure de Mahler des polynômes, et est notamment utilisé pour construire les torsions L² de variétés topologiques comme les complémentaires de nœuds, mais est difficile à calculer en général. Dans cet exposé, je présenterai de nouveaux calculs de déterminants de Fuglede-Kadison sur les groupes libres, obtenus via des comptages de chemins sur des graphes de Cayley. Ensuite, je préciserai les conséquences de ces nouveaux calculs concernant la possible construction d'invariants de nœuds et d'entrelacs à partir de représentations de Burau L² des groupes de tresses.

Un triplet holomorphe de rang (n,n) consiste en la donnée de deux fibrés vectoriels holomorphes de rang n sur une courbe, et d'un morphisme entre les deux. Bradlow et Garcia-Prada ont construit un espace de modules classifiant ces objets après avoir défini une notion de stabilité. Meinhardt et Reineke ont développé une théorie pour calculer la cohomologie d'intersection de certains espaces de modules à l'aide d'invariants de Donaldson-Thomas motiviques. Après avoir rappelé cette théorie nous l'appliquerons à l'espace de modules des triplets holomorphes de rang (n,n).

Ordres de Bruhat, sous-groupes de points fixes et adhérences d'orbites. L'ordre de Bruhat (fort) sur le groupe symétrique décrit l'inclusion des adhérences pour la topologie de Zariski des orbites d'un sous-groupe de Borel du groupe linéaire général agissant sur la variété de drapeaux. Cet ordre partiel possède une définition combinatoire qui se généralise aux groupes de Coxeter arbitraires. Par ailleurs, la situation géométrique fournit de nombreuses généralisations d'ordres de Bruhat: étant donné un sous-groupe d'un groupe réductif agissant sur la variété de drapeaux correspondante avec un nombre fini d'orbites, on peut chercher à décrire l'ordre d'inclusion des adhérences d'orbites. Etant donné un système de Coxeter arbitraire et un sous-groupe parabolique standard (en général non irréductible) de ce dernier muni d'un automorphisme involutif de diagramme, nous étudions la restriction de l'ordre de Bruhat aux classes à gauche du sous-groupe des points fixes de l'automorphisme de ce parabolique standard, et définissons une notion d'ordre de Bruhat sur le quotient du groupe de Coxeter ambiant par ce sous-groupe, généralisant l'ordre de Bruhat sur les quotients paraboliques. Nous donnons une description de l'ordre de Bruhat restreint aux classes modulo ce sous-groupe de points fixes. Contrairement au cas des quotients paraboliques, chaque classe possède en général plusieurs éléments de longueur minimale. Nous expliquons comment relier ces éléments (travail en commun avec Nathan Chapelier). En type A et pour un choix particulier de sous-groupe parabolique standard et d'automorphisme, nous montrons que l'ordre de Bruhat sur le quotient mentionné au paragraphe précédent décrit l'inclusion des adhérences d'orbites pour l'action sur la variété de drapeaux du centralisateur d'une matrice nilpotente d'indice 2 dans le groupe général linéaire (travail en commun avec Pierre-Emmanuel Chaput et Lucas Fresse).

In this talk, we will discuss two constructions of Witt vectors with coefficients in an associative unital ring. One of these constructions is due to Lars Hesselholt by using Witt polynomials and the other is due to Cuntz and Deninger, without using Witt polynomials. These constructions match with the classical construction of the ring of Witt vectors when the ring under consideration is commutative. It is natural to ask how these constructions are related in the general case. We will discuss results in this direction. This is a joint work with Amit Hogadi.

De la même manière que les champs algébriques se présentent comme quotients de leur atlas — le long du groupoïde formé par les intersections itérées — les champs dérivés symplectiques (homologiquement décalés) peuvent être présentés comme quotients de groupoïdes symplectiques. Nous nous intéressons ici, à partir d’un travail commun avec Damien Calaque, à l’exemple fondamental des champs cotangents décalés. La construction des cotangents décalés ne préserve pas a priori toute la structure de groupoïde de Segal d’un atlas, mais seulement une structure plus faible, dite de 2-Segal. Nous expliquerons comment on produit et comprend cette structure, et comment les symétries groupoïdales sont ce qui permet de retrouver les conditions de Segal.

Soit Q un carquois (= graphe orienté) à n sommets et K un corps algébriquement clos. Fixons X un KQ-module. Rappelons qu’un KQ-module peut être vu (via une équivalence de catégorie) comme une substitution de chaque sommet par un K-espace vectoriel, et une substitution de chaque flèche par une transformation linéaire . Avec cette traduction, un endomorphisme de X peut se voir comme une collection d’endomorphismes, un pour chaque sommet. Pour cet exposé, nous allons nous intéresser aux endomorphismes nilpotents de X. Dans l’ensemble de tels endomorphismes, il existe un ensemble ouvert dense O tel que, si M et N appartiennent à O, alors pour chaque sommet q de Q, les formes de Jordan de Nq et Mq sont les mêmes. Ainsi, nous appelons la forme générique de Jordan de X la collection de partages encodant les formes de Jordan de Nq obtenues pour N dans O. Une sous-catégorie C de KQ-modules est dite retrouvable de Jordan si nous pouvons retrouver X, à isomorphisme près, dans C, connaissant sa forme générique de Jordan. Le but de cet exposé, qui est avant tout une initiation à la théorie de la représentation de carquois, est d’introduire cette notion plus en détails en exhibant son lien avec la correspondance de Robinson-Schensted-Knuth, et en se restreignant à des carquois de type A. Après avoir mis en lumière les difficultés que nous pouvons rencontrer pour montrer qu’une catégorie est retrouvable de Jordan, je présenterai un raffinement de cette notion, appelée retrouvabilité de Jordan canonique, et en donnerai une caractérisation combinatoire. Enfin, si le temps le permet, j’évoquerai quelques points clés d’une preuve de cette caractérisation, et je mentionnerai des liens intéressants avec les modules basculants. Il s’agit d’une partie de mes travaux de doctorat, encadré par Hugh Thomas.

Prenons un p-groupe fini S, et intéressons-nous aux morphismes entre sous-groupes de S qui sont donnés par des conjugaisons. Si l'on plonge S dans un groupe G plus grand, on obtient potentiellement de nouvelles conjugaisons entre sous-groupes de S. Les morphismes associés forment alors ce que l'on appelle le système de fusion de G sur S. Si l'on regarde les choses dans l'autre sens, étant donné un ensemble "convenable" de morphismes entre sous-groupes de S (i.e. un système de fusion sur S), on peut se demander s'il existe un groupe G contenant S et dont les conjugaisons donneraient précisément cet ensemble de morphismes (on dit alors que le système de fusion est réalisable par un groupe). Cette question peut être précisée ou généralisée de plusieurs manières, aboutissant à des réponses différentes. Un prégroupe, tel que défini par Stallings en 1971, est un ensemble muni d'une opération partiellement définie généralisant la structure de groupe. Dans cet exposé, je présenterai les systèmes de fusion d'une part, les prégoupes d'autre part, puis j'expliquerai comment on peut prouver que tout système de fusion est réalisable par un prégroupe fini. Le contenu de l'exposé est tiré d'un preprint co-écrit avec Rémi Molinier.

Let G and T be finite groups and k be a commutative unitary ring. We consider the double shifted Burnside algebra, kB_T(GxG), of finite (GxGxT)-sets with product given by a generalisation of the composition of bisets. The essential algebra, k^B_T(G), is the quotient of kB_T(GxG) over the ideal generated by elements which factor through groups of order strictly smaller than |G|. The essential algebra is an important tool in the study of biset functors and its structure is known when T is the trivial group (Bouc, 1996). The purpose of this talk is to describe some elements in a generating set of k^B_T(G) and to give a complete description of k^B_T(G) when G and T satisfy (|G|, |T|)=1.

Le but de l'exposé est de présenter une comparaison entre deux modèles (de Quillen): celui des quasi-catégories cubiques, et celui des catégories enrichies en complexe de Kan. Aucun pré-requis n'est nécessaire, l'exposé est présenté sous forme de promenade, qui nous amènera jusqu'aux 3-types d'homotopie.

La dualité de Tannaka-Krein, dans sa version catégorique, assure la reconstruction d’un groupe compact à partir de la catégorie de ses représentations en dimension finie. En généralisant à des catégories dites tannakiennes, des théorèmes de reconstructions permettent d'interroger la notion de dualité, en particulier celle d’une algèbre de Hopf. En ne considérant alors plus que le seul foncteur fibre des catégories tannakiennes, mais aussi un foncteur d’induction non fibré sur la catégorie des représentations d’un groupe compact, on peut alors faire intervenir le calcul fonctoriel diagrammatique du end/coend, qui donne une structure de coalgèbre au produit tensoriel de Deligne de ces deux foncteurs. La théorie de Hopf-Galois donne alors une définition possible d'un dual d’un espace homogène, comme spectre de l’algèbre duale de l’extension de Hopf-Galois obtenue. Comme cas particuliers, cette construction contribue à une généralisation de la dualité de Pontryagin du 1-tore compact commutatif U(1), et de celle du groupe unitaire non commutatif U(n), dont l’ensemble des classes de représentations irréductibles de dimension finie sont décrites historiquement et reconnues comme son objet dual dans la littérature mathématique.

Elias et Williamson ont donné une présentation par générateurs et relations de la catégorie de Hecke en termes de diagrammes de Soergel. On peut adapter cette présentation, en rajoutant des "patches", pour décrire la catégorie dg engendrée par les complexes de Rouquier. Avec ce langage on peut retrouver des résultats classiques sur les complexes de Rouquier, notamment les isomorphismes qui relèvent les relations de tresse et la formule de Rouquier.

Nakaoka et Palu ont introduit la notion de catégorie extriangulées. Il s'agit d'une axiomatisation qui unifie celles des catégories exactes et des catégories triangulées. En particulier, généraliser un résultat connu pour les catégories exactes au cadre extriangulé permet de l'appliquer aux catégories triangulées, et vice versa. Cet exposé sera consacré à un tel exemple : un théorème de Rump, généralisant les catégories stables via les sous-catégories birésolvantes. On esquissera ensuite une tentative de généralisation au cadre de l’algèbre homologique supérieure.

Notre motivation pour ce travail provient de l'étude d'équivalences dérivées pour une classe d'algèbres, dites "aimables tordues" ("skew-gentle" en anglais). Ces algèbres sont obtenues en tordant des algèbres aimables par l'action d'un groupe d'ordre deux. Des travaux de Haiden, Katzarkov et Kontsevich sur les catégories de Fukaya ont mis au jour une construction des algèbres aimables comme cohomologie de catégories A-infinies, définies en termes de courbes sur une surface. Notre objectif est de définir une version A-infinie de cette construction et d'utiliser ce cadre pour construire des équivalences dérivées. Dans cet exposé, je présenterai les premiers résultats de ce travail en cours avec Claire Amiot.

L'ordre de Bruhat (fort) sur le groupe symétrique décrit l'inclusion des adhérences pour la topologie de Zariski des orbites d'un sous-groupe de Borel du groupe linéaire général agissant sur la variété de drapeaux. Cet ordre partiel possède une définition combinatoire qui se généralise aux groupes de Coxeter arbitraires. Par ailleurs, la situation géométrique fournit de nombreuses généralisations d'ordres de Bruhat: étant donné un sous-groupe d'un groupe réductif agissant sur la variété de drapeaux correspondante avec un nombre fini d'orbites, on peut chercher à décrire l'ordre d'inclusion des adhérences d'orbites. Etant donné un système de Coxeter arbitraire et un sous-groupe parabolique standard (en général non irréductible) de ce dernier muni d'un automorphisme involutif de diagramme, nous étudions la restriction de l'ordre de Bruhat aux classes à gauche du sous-groupe des points fixes de l'automorphisme de ce parabolique standard, et définissons une notion d'ordre de Bruhat sur le quotient du groupe de Coxeter ambiant par ce sous-groupe, généralisant l'ordre de Bruhat sur les quotients paraboliques. Nous donnons une description de l'ordre de Bruhat restreint aux classes modulo ce sous-groupe de points fixes. Contrairement au cas des quotients paraboliques, chaque classe possède en général plusieurs éléments de longueur minimale. Nous expliquons comment relier ces éléments (travail en commun avec Nathan Chapelier). En type A et pour un choix particulier de sous-groupe parabolique standard et d'automorphisme, nous montrons que l'ordre de Bruhat sur le quotient mentionné au paragraphe précédent décrit l'inclusion des adhérences d'orbites pour l'action sur la variété de drapeaux du centralisateur d'une matrice nilpotente d'indice 2 dans le groupe général linéaire (travail en commun avec Pierre-Emmanuel Chaput et Lucas Fresse).

La cohomologie de Hochschild d'une algèbre différentielle graduée est un objet possédant des structures algébriques variées. Cette cohomologie est naturellement munie d'une multiplication et d'un crochet de Lie qui sont compatibles, on dit que c'est une algèbre de Gerstenhaber. Par ailleurs, elle peut être enrichie en une algèbre de Batalin-Vilkovisky lorsque vérifie une certaine forme de symétrie. Par exemple, Luc Menichi montre que , la cohomologie de Hochschild du complexe des cochaînes singulières d'une variété lisse, compacte, simplement connexe et orientée, est une algèbre de Batalin-Vilkovisky. Le but de cet exposé est de présenter une nouvelle preuve de ce résultat à l'aide de la théorie des opérades et sans supposer que soit simplement connexe. Dans un premier temps, on donnera les principales idées de la preuve due à Menichi. On présentera ensuite quelques notions de la théorie des opérades qu'on utilisera dans la dernière partie de cet exposé pour prouver le résultat annoncé.

La correspondance de Robinson-Schensted-Knuth est une bijection partant des matrices d'entiers naturels vers les paires de tableaux de Young semi-standards. Une version généralisée donne une bijection entre des remplissages d'un tableau d'une certaine forme, et les partitions planes renversés de la même forme. D'un point de vue "représentation de carquois", la correspondance RSK donne une bijection entre deux invariants particuliers d'un module X (dans une certaine catégorie). Les entrées d'un remplissage arbitraire correspondent aux multiplicités des facteurs indécomposables de X, tandis que les entrées de la partition plane renversée enregistrent la donnée générique de Jordan de X, un invariant introduit par Alexander Garver, Rebecca Patrias et Hugh Thomas. Mon exposé a pour but de présenter une version un peu plus générale de cette correspondance, en y incluant une interaction avec un choix arbitraire d'une orientation d'un carquois de type A, correspondant à un choix d'un élément de Coxeter dans Sn. Pour cet exposé, aucune grande connaissance de la théorie des représentations de carquois ne sera nécessaire. Si le temps le permet, je discuterai un peu plus du résultat algébrique dont est tiré ce travail. C'est une continuation de mon travail de thèse, encadré par Hugh Thomas.

Dans sa preuve de la conjecture pour les arrangements de réflexions complexes, Bessis a introduit de nouvelles structures de Garside utiles pour manipuler les groupes de tresses complexes irréductibles. Un cas particulièrement délicat à traiter est celui du groupe de tresses , qui nécessite l'utilisation d'une catégorie (et non plus simplement d'un monoïde) de Garside. Dans cet exposé, j'expliquerai comment utiliser cette catégorie de Garside pour prouver plusieurs résultats de théorie des groupes sur . Certains de ces résultats sont nouveaux, d'autres ont été obtenus précédemment en utilisant des preuves non Garside. Si le temps le permet, je donnerai également quelques détails sur la construction topologique de cette catégorie, et la façon dont elle peut être utilisée pour comprendre les sous-groupes paraboliques de , tels que définis par Marin et Gonzàlez-Meneses.

(joint work with Ayah Almousa and Sheila Sundaram) Stirling numbers c(n,k), S(n,k) of the first and second kind are the answers to two counting problems: how many permutations of {1,2,...,n} have k cycles, and how many set partitions of {1,2,...,n} have k blocks? The c(n,k) also give the Hilbert function for certain well-studied Koszul algebras with symmetry: the cohomology of configurations of n distinct labeled points in d-space. These cohomology rings are also known as the Orlik-Solomon algebras and graded Varchenko-Gelfand algebras for type A reflection hyperplane arrangements, depending upon whether d is even or odd. We discuss how the S(n,k) give the Hilbert series for their less-studied Koszul dual algebras. This includes relating the symmetric group action on the original algebras and on their Koszul duals, representation stability in the sense of Church and Farb, and branching rules that lift Stirling number recursions.

Soit p un premier et S un p-groupe fini. L'anneau de Burnside B(S) de S est un Z-module libre qui a comme base les classes d'isomorphisme de S-ensembles transitifs et ou l'addition est définie par réunion disjointe et la multiplication par produit direct. Un système de fusion F sur S est une catégorie qui a comme objets les sous-groupes de S et comme morphismes des homomorphismes injectifs de groupes. Cette catégorie peut être vue comme la catégorie des morphismes de conjugaison sur S donnée par un groupe fini G ayant S comme sous-groupe. Il est naturel de définir la F-stabilité des S-ensembles. Les S-ensembles F-stables engendrent un sous-anneau B(F) de B(S). Il y a dix ans Sune Reeh a montre que, sous certaines conditions sur F, le monoïde sous-jacent B+(F) de B(F) est libre. Ceci n'est pas le cas pour tout système de fusion. Dans cet exposé nous allons investiguer des conditions sur F qui sont équivalentes à la liberté de B+(F). L'exposé est construit sur des travaux de mes doctorants Aktham Mula et Nicolas Lemoine.

La notion combinatoire d'accordéon, introduite par Baryshnikov pour les quadrangulations de polygones, a permis à Garver et McConville de généraliser le flip des triangulations au cas des dissections. L'objectif de cet exposé est de présenter une catégorification de cette combinatoire à l'aide de la théorie des représentations d'algèbres aimables. Les catégories apparaissant ainsi sont des catégories exactes vérifiant certaines bonnes propriétés, regroupées sous le terme "0-Auslander". Si le temps le permet, je donnerai d'autres exemples de situations où des structures 0-Auslander interviennent naturellement. Cet exposé s'inspire de travaux en collaboration avec Vincent Pilaud et Pierre-Guy Plamondon et avec Misha Gorsky et Hiroyuki Nakaoka.