Séminaires GAT en 2025

Les quandles sont des structures algébriques jouant un rôle important en théorie des noeuds et des entrelacs. En effet, comme l'ont montré indépendamment Joyce et Matveev en 1982, elles encodent efficacement les systèmes périphériques, et le système périphérique est un invariant presque complet des entrelacs, s'exprimant en termes de théorie des groupes. Dans cet exposé, après avoir introduit les objets en question, je montrerai comment la correspondance classique entre les systèmes périphériques abstraits et les quandles peut se voir comme une équivalence de catégories, en prenant pour intermédiaire la catégorie des ensembles croisés, qu'on introduira.

Le théorème fondamental des treillis distributifs décrit tout treillis distributif comme treillis des idéaux d’un poset. Plus généralement, il soulève l’importance des éléments join-irréductibles dans l’étude des treillis. Un treillis (fini) dans lequel tout élément admet une représentation canonique en join de join-irréductibles est dit semi-distributif. Une classe de tels exemples, apparue relativement récemment, est donnée par les treillis de classe de torsion sur des algèbres de dimension finie. L’étude de cet exemple a permis à Nathan Reading, David Speyer et Hugh Thomas de comprendre, et de démontrer, un théorème fondamental des treillis semi-distributifs.

Soit un entier premier et soit l'anneau des entiers d'une extension finie du corps des nombres -adiques. Dans leur article de 1964, J. Lubin et J. Tate ont construit un groupe formel de dimension sur , désormais appelé groupe (formel) de Lubin-Tate, auquel ils ont associé une extension abélienne totalement ramifiée de qui leur permet de proposer une nouvelle manière de retrouver la version locale de la loi de réciprocité d'Artin, fournissant ainsi une nouvelle approche de la théorie locale du corps de classes. Depuis, bien qu'aient émergé de nombreuses applications fort impressionnantes des groupes de Lubin-Tate (en théorie des nombres ou en géométrie arithmétique, mais aussi dans l'étude de certains systèmes dynamiques), aucune généralisation satisfaisante de cette construction en dimension supérieure n'a été fournie. L'objectif de cet exposé est d'expliquer comment, dans un travail en collaboration avec M.A. Sarkar (University of Burdwan), nous avons suivi une idée proposée par J. Lubin pour construire une famille de groupes formels de dimension sur (anneau des entiers de ) qui fournit une contrepartie raisonnable en dimension des groupes de Lubin-Tate (de dimension ). Selon le temps disponible, nous présenterons aussi quelques résultats que nous avons obtenus concernant le caractère abélien et les propriétés de ramification des extensions engendrées par les points de torsion de tels groupes formels.

On peut associer à tout espace topologique stratifié plusieurs types d'homotopie : 1) Un type d'homotopie stratifiée. 2) Un type d'homotopie d'intersection. Dans un premier temps on expliquera les motivations qui ont conduit à l'introduction de ces objets. Puis on donnera des exemples de calculs dans le cas des variétés algébriques complexes à singularités isolées.

Les q-analogues de nombres sont issus d’une déformation des nombres entiers qui consiste à introduire une variable formelle « q », en remplaçant chaque nombre par un polynôme de telle sorte qu’on retrouve le nombre initial en faisant tendre q vers 1. Cette idée sous-tend par exemple la notion de série génératrice, déjà utilisée par Euler pour aborder des problèmes combinatoires. Une bonne déformation doit ainsi respecter les propriétés structurelles de l’objet déformé. En 2020, Sophie Morier-Genoud et Valentin Ovsienko ont proposé une q-déformation des nombres rationnels, qui généralise de manière satisfaisante les propriétés combinatoires des q-entiers. Dans cet exposé, on verra comment définir ces q-rationnels à partir de la représentation de Burau du groupe de tresse B3, ce qui permettra d'interpréter les q-rationnels comme des invariants de nœuds. Ensuite, on présentera une généralisation de ce processus au groupe de tresse B4, qui permet de quantifier le plan projectif rationnel.

In their study of special unipotent representations for complex semisimple groups, Barbasch and Vogan defined a duality map between the nilpotent orbits of and that of its Langlands dual group (also discovered by Lusztig and Spaltenstein), which allows them to describe the special unipotent ideals and representations of in terms of . This duality was later generalized by Sommers, Achar and Losev-Mason-Brown-Matvieievskyi. In this talk, I will reinterpret these duality maps in terms of covers of nilpotent orbits. This not only enables the definition of generalized unipotent representations, but also leads to interesting observations and conjectures regarding the birational geometry of the affinizations of the nilpotent orbit covers. If time permits, I will also discuss the connection of these findings to symplectic duality/3d mirror symmetry. The talk is partially based on joint work with Lucas Mason-Brown and Dmytro Matvieievskyi (arXiv:2309.14853) and ongoing project with Daniel Juteau, Paul Levy, and Eric Sommers.

The two-headed snake is a standard example of a non-Hausdorff groupoid. We study the Steinberg algebra, a convolution algebra of linear combinations of continuous functions from the groupoid to a field K, for the two- and three-headed snake groupoids. We are interested in elements of this algebra that are no longer continuous, known as singular functions. The set of singular functions S_K forms an ideal of the Steinberg algebra. We are interested in whether the characteristic of the field K impacts the structure of this ideal. In the two-headed snake, S_K has no proper subideals regardless of the choice of K, but in the three-headed snake, field characteristic plays a major role.

La variété de Gieseker est une généralisation du schéma ponctuel de Hilbert. Nous présenterons des liens combinatoires entre les composantes irréductibles du lieu des points fixes de la variété de Gieseker et la théorie des blocs de l’algèbre d’Ariki-Koike. Dans un premier temps, nous donnerons une description du lieu des points fixes en termes de variétés du carquois de Nakajima sur le carquois de McKay de type A. Nous expliquerons où se cache la combinatoire des coeurs de multipartitions chargées, telle que définie par Fayers et développée par Jacon et Lecouvey, du côté Gieseker. De plus, nous présenterons une nouvelle façon de calculer la multicharge associée au coeur d’une multipartition chargée. Enfin, s’il reste du temps, nous expliquerons également comment la notion de blocs au coeur, découverte par Fayers, peut être interprétée du côté géométrique en utilisant le lien profond entre les variétés carquois et les algèbres de Lie affines.

n the introductory part of this talk, we will discuss the basic notions of the theory of smooth complex representations of -adic reductive groups. We will explain the theory leading to the Bernstein decomposition theorem, which decomposes the category of smooth representations into blocks indexed by the (infinitely many) connected components of the Bernstein variety. In the second part, we will construct the Lafforgue variety, an affine scheme with a finite projection to the Bernstein variety, equipped with an open dense subscheme whose geometric points are in a canonical bijection with the set of smooth irreducible representations of .

L'étude du corps des invariants des groupes finis apporte un angle d'attaque prometteur au problème de Galois inverse. Après avoir donné un aperçu historique de cette approche, initiée par Noether, je me concentrerai sur une variante locale-globale plus récente faisant intervenir des invariants cohomologiques profonds : l'obstruction de Brauer-Manin. Nous verrons ensuite comment en déduire de nouvelles réponses au problème de Galois inverse. Il s'agit là d'un travail en commun avec Danny Neftin.

On parlera de trois familles de polytopes convexes, plus ou moins classiques, qui partagent de nombreuses propriétés, dont une élégante description combinatoire du graphe des arêtes et des sommets. Les deux premières familles sont aussi apparues en théorie des représentations dans la théorie des algèbres amassées, ainsi que dans la théorie plus avancée du tau-basculement. Les haloèdres sont moins connus et plus récents, mais aussi remarquables. Il y a toute une théorie algebrico-combinatoire autour des ces objets, riche et bien explorée, impliquant notamment deux sortes de treillis. Dans la seconde partie, je parlerai d'une nouvelle construction, sans rapport a priori et qui mène à des polytopes ayant une allure bien différente, mais qui semblent reliés d'une manière assez mystérieuse aux trois familles initiales. Ainsi, les points entiers dans les nouveaux polytopes sont en nombre égal aux sommets des anciens polytopes.

Given an abelian category, there is a general construction due to Joyce, which gives a structure of vertex (co)-algebra to the (co)homology of the moduli stack of objects in the category. In this talk, we will focus on the category of quiver representations and explain how this construction could be generalized to the setting of quiver with potential, i.e. on the cohomology of the sheaf of vanishing cycles associated with the potential. I will explain how the resulting vertex co-algebra structure is compatible with the Kontsevich-Soibelman cohomological Hall algebra. Then I will explain how this recovers cohomological integrality theorem for symmetric quivers and generalizes deformed Drinfeld coproducts on Yangians of ADE type. This is joint work with Sarunas Kaubrys and Alexei Latyntsev.

Cette exposé concerne le lien entre la théorie des faisceaux pervers des catégories triangulées enrichies (les schobers) et la théorie de l'amas-basculement dans les catégories extriangulées. Étant donné une surface topologique avec un schober pervers, il y a des foncteurs de restriction entre les catégories des sections globales et des sections locales. Ces foncteurs ont des adjoint de droite et de gauche, que j'appelle induction (droite et gauche). Dans la première partie de l'exposé on va discuter une description de ces foncteurs en termes de la géométrie de la surface. La surface inclut le choix d'un squelette (un graphe en ruban). La deuxième partie concerne la relation avec les catégories amas-baseculantes. Les catégories des sections d'un schober pervers (soit local, soit global) définissent des catégories extriangulées Frobenius. Le résultat principal, c'est si on a une famille d'objects/catégories amas-basculantes dans des catégories de sections locales (une pour chaque sommet du graphe en ruban), l'union de leurs inductions forme une catégorie amas-basculante dans la catégorie des sections globales. Basé sur arxiv:2509.01689.

Les groupes de cactus font l'objet d'un attention croissante depuis quelques années de part leur apparition dans de nombreux domaines mathématiques (dont les opérades, les catégories de cobordisme, certains espaces de configuration, ou encore les algèbres asymptotiques de Lustig). Dans une première partie, après un rappel sur ces groupes, j'expliquerai comme la recherche d'une solution au problème du mot à conduit à la notion de groupes de ruissellement (trickle groups) et comme cette nouvelle famille de groupes contient de nombreux autres groupes intéressants, dont le groupe le Thompson. Dans une seconde partie, j'expliquerai les liens avec la structures duales et avec les groupes de Garside et ferai un point sur les questions ouvertes. Il s'agit de travaux en commun avec Paolo Bellingeri et Luis Paris.

L'algèbre de loop Hecke est une version de l'algèbre de Hecke pour le groupe de tresses de cercle (loop braid group), qui a été introduite par C. Damiani, P. Martin et E. Rowell. Nous tâcherons d'expliquer les ressemblances, ainsi que les différences, avec l'algèbre de Hecke "classique" associée au groupe de tresses usuels. La première partie de cet exposé s'attardera sur la définition, ainsi que la question subtile de la dimension de cette algèbre de loop Hecke. Dans une seconde partie, nous aborderons le lien avec les groupes quantiques, en établissant une dualité de Schur-Weyl non semi-simple. Ce travail est en commun avec G. Janssens, L. Schelstraete et P. Vaz.

Il est bien connu que toute représentation d’un groupe fini sur C peut s’écrire comme une somme directe de représentations irréductibles. Cette propriété échoue pour la plupart des autres algèbres, et même pour les groupes finis en caractéristique positive. Une manière courante pour remédier à cela consiste à « stratifier » l'algèbre en morceaux plus petits. J’expliquerai comment on peut obtenir telles stratifications de façon géométrique, et je parlerai de progrès récent (en collaboration avec R. Maksimau) sur la stratification des algèbres de Hecke-carquois.

A partir d'une triangulation d'une surface épointée, on peut associer un carquois à potentiel, c'est à dire un graphe orienté muni d'une combinaison linéaire formelle de cycles orientés. Le problème géométrique du comptage des géodésiques pour une certaine métrique est alors traduit en un problème de théorie de représentations, à savoir le comptage de représentations du carquois à potentiel, stables pour une certaine condition de stabilité. Dans cet exposé, on reverra cette correspondance, en s'attardant sur le cas du tore à un point, et du carquois de Markov qui lui correspond. On verra comment la théorie de la mutation permet de résoudre ce problème de théorie des représentations, modulo une ambiguïté dans le cas du carquois de Markov, qui fait l'objet d'un travail en cours avec Ben Davison.

Les représentations de carquois avec multiplicités sont une généralisation des représentations de carquois, où le corps de base est remplacé par des anneaux de séries tronquées. Ce type de représentations apparaît notamment dans une série de travaux de Geiss, Leclerc et Schröer, où elles donnent lieu à plusieurs réalisations géométriques des algèbres de Kac-Moody symétrisables. Ces résultats généralisent au cas symétrisable certaines constructions de Lusztig, Kashiwara et Saito concernant les représentations usuelles de carquois et les algèbres de Kac-Moody symétriques. Dans cet exposé, je présenterai un travail en commun avec Victoria Hoskins et Joshua Jackson, où nous construisons des espaces de modules de représentations de carquois avec multiplicités. Notre construction repose sur des résultats récents de théorie géométrique des invariants pour les groupes non-réductifs, dus à Hamilton, Hoskins et Jackson. En particulier, nous définissons des conditions de stabilité pour les représentations de carquois avec multiplicités, qui généralisent celles introduites par King dans les années 90. Nous obtenons en particulier des espaces de modules de représentations encadrées de carquois et des analogues des variétés carquois de Nakajima pour les carquois avec multiplicités. Nous montrons également que la cohomologie de certains de ces nouveaux espaces de modules porte une structure de Hodge pure, à l'instar des variétés carquois de Nakajima.